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設橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）以F₁、F₂為左、右焦點，離心率e=

1

2

，一個短軸的端點（0，

3

）；拋物線C₂：y²=4mx（m＞0），焦點為F₂，橢圓C₁與拋物線C₂的一個交點為P．
（1）求橢圓C₁與拋物線C₂的方程；
（2）直線l經過橢圓C₁的右焦點F₂與拋物線C₂交于A₁，A₂兩點，如果弦長|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求直線l的斜率．

設橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）以F₁、F₂為左、右焦點，離心率e=

1

2

，一個短軸的端點（0，

3

）；拋物線C₂：y²=4mx（m＞0），焦點為F₂，橢圓C₁與拋物線C₂的一個交點為P．
（1）求橢圓C₁與拋物線C₂的方程；
（2）直線l經過橢圓C₁的右焦點F₂與拋物線C₂交于A₁，A₂兩點，如果弦長|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求直線l的斜率．

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，左、右焦點分別為F₁、F₂，點P（2，

3

），點F₂在線段PF₁的中垂線上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設l₁，l₂是過點G（

3

2

，0）且互相垂直的兩條直線，l₁交E于A，B兩點，l₂交E于C，D兩點，求l₁的斜率k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設AB，CD的中點分別為M，N，試問直線MN是否恒過定點？若經過，求出該定點坐標；若不經過，請說明理由．

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點為A（1，0），過C的焦點且垂直長軸的弦長為

2

．
（I）求橢圓C的方程；
（II）經過定點F（0，1）的兩直線l₁，l₂與橢圓分別交于P、Q、M、N，且l₁⊥l₂，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為4，離心率為

1

2

，點P是橢圓上異于頂點的任意一點，過點P作橢圓的切線l，交y軸于點A，直線l′過點P且垂直于l，交y軸于點B、
（1）求橢圓的方程．
（2）試判斷以AB為直徑的圓能否經過定點？若能，求出定點坐標；若不能，請說明理由．