Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為4，離心率為

1

2

，點P是橢圓上異于頂點的任意一點，過點P作橢圓的切線l，交y軸于點A，直線l′過點P且垂直于l，交y軸于點B、
（1）求橢圓的方程．
（2）試判斷以AB為直徑的圓能否經過定點？若能，求出定點坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意根據長軸長求得a，根據離心率求得c，進而根據a，b和c的關系求得b，則橢圓的方程可得．
（2）設點P（x₀，y₀），進而表示出直線l的方程，代入橢圓方程消去y，根據x=x₀是方程的兩個相等實根，求得x₀與k的關系式，求得k的表達式，代入直線方程，令x=0，得到點B的坐標，表示出以AB為直徑的圓的方程整理后令y=0求得x，進而求得圓恒過的點．

解答：解：（1）∵2a=4，

c

a

=

1

2

，∴a=2，c=1，b=

3

．
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設點P（x₀，y₀）（x₀≠0，y₀≠0），
直線l的方程為y-y₀=k（x-x₀），代入

x2

4

+

y2

3

=1，
整理，得（3+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）x+4（y₀-kx₀）²-12=0．
∵x=x₀是方程的兩個相等實根，
∴2x₀=-

8k(y0-kx0)

3+4k2

，解得k=-

3x0

4y0

．
∴直線l的方程為y-y₀=-

3x0

4y0

（x-x₀）．
令x=0，得點A的坐標為（0，

4y20+3x20

4y0

）．
又∵

x02

4

+

y02

3

=1，∴4y₀²+3x₀²=12．
∴點A的坐標為（0，

3

y0

）．
又直線l′的方程為y-y₀=

4y0

3x0

（x-x₀），
令x=0，得點B的坐標為（0，-

y0

3

）．
∴以AB為直徑的圓的方程為x•x+（y-

3

y0

）•（y+

y0

3

）=0．整理，得x²+y²+（

y0

3

-

3

y0

）y-1=0．
令y=0，得x=±1，
∴以AB為直徑的圓恒過定點（1，0）和（-1，0）．

點評：本題主要考查了橢圓的應用．涉及了橢圓的標準方程，橢圓與圓，橢圓與直線的關系，綜合考查了學生對圓錐曲線知識的理解和運用．