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已知中心在原點O，焦點F₁、F₂在x軸上的橢圓E經過點C（2，2），且拋物線的焦點為F₁.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用。第一問中，設出橢圓的方程，然后結合拋物線的焦點坐標得到，又因為，這樣可知得到。第二問中設直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯立方程組可以得到

，再利用可以結合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。

解：(Ⅰ)設橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設直線l的方程為y=-x+m，……………5分

 代入橢圓E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當m=3時，直線l方程為y=-x+3，此時，x₁ +x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，

圓P的方程為（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，當m=－3時，直線l方程為y=-x－3，

圓P的方程為（x+2）²+(y+1)²=4

 

已知橢圓C中心在坐標原點O焦點在x上，F₁，F₂分別是橢圓C左、右焦點，M橢圓短軸的一個端點，過F₁的直線l橢圓交于A、B兩點，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點Q的坐標為（1，0）存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切．若存在，求出點P坐標及圓的方程；若不存在，請說明理由．

已知橢圓C₁的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為e=

3

2

，點P為橢圓上一動點，點F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，且△PF₁F₂面積的最大值為

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓短軸的上端點為A，點M為動點，且

1

5

|

F2A

|²，

1

2

F2M

•

AM

，

AF1

•

OM

成等差數列，求動點M的軌跡C₂的方程．

已知橢圓C的中心在坐標原點，兩焦點F₁，F₂在x軸上，離心率為

1

2

，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊
形周長等于8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）M、N是直線x=4上的兩個動點，且

F1M

-

F2N

=0．設E是以MN為直徑的圓，試判斷原點O與圓E的位置關系．