Question

已知橢圓C：的左、右兩焦點分別為F₁，F₂，P是橢圓C上的一點，且在x軸的上方，H是PF₁上一點，若，（其中O為坐標原點），
(Ⅰ)求橢圓C離心率e的最大值；
(Ⅱ)如果離心率e取(Ⅰ)中求得的最大值，已知b²=2，點M(-1，0)，設Q是橢圓C上的一點，過Q，M兩點的直線l交y軸于點N，若，求直線l的方程。

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意知，，則有與相似，
所以，，
設，
則有，解得，
所以，，
根據橢圓的定義，得，
∴，即，
所以，，
顯然在上是單調減函數，
當時，e²取得最大值，
所以，橢圓C離心率e的最大值為。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，解得：a²=4，
所以此時橢圓C的方程為，
由題意知直線l的斜率存在，故設其斜率為k，
則其方程為，
設，由于，
所以有，
∴，
又Q是橢圓C上一點，則，
解得：k=±4，
所以直線l的方程為4x-y+4=0或4x+y+4=0。