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在中，滿足,是邊上的一點.

（Ⅰ）若,求向量與向量夾角的正弦值；

（Ⅱ）若，=m  (m為正常數) 且是邊上的三等分點.，求值；

（Ⅲ）若且求的最小值。

【解析】第一問中，利用向量的數量積設向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求

第二問因為，=m所以，

（1）當時，則= 

（2）當時，則=

第三問中，解：設,因為，；

所以即于是得

從而

運用三角函數求解。

（Ⅰ）解：設向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求……………2分

(Ⅱ)解：因為，=m所以，

（1）當時，則=；-2分

（2）當時，則=；--2分

（Ⅲ）解：設,因為，；

所以即于是得

從而---2分

==

=…………………………………2分

令，則，則函數，在遞減，在上遞增，所以從而當時，

 

在數學證明中，①假言推理、②三段論推理、③傳遞關系推理、④完全歸納推理，是經常使用的四種演繹推理，下面推理過程使用到上述推理規則中的（     ）如（右圖）

因為lAB,所以又因為AB//CD,所以

 所以

A. ①②③        B.②③④

C. ②③          D.①②③④

 

如圖,三棱錐中,側面底面, ,且,.(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)若為側棱PB的中點,求直線AE與底面所成角的正弦值.

【解析】第一問中，利用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以第二問中結合取AC中點O,連接PO、OB,并取OB中點H,連接AH、EH,因為PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,又EH//PO,所以EH平面ABC ,

則為直線AE與底面ABC 所成角,

解

 (Ⅰ) 證明:由用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以

………………………………………………6分

(Ⅱ)如圖, 取AC中點O,連接PO、OB,并取OB中點H,連接AH、EH,

因為PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,

又EH//PO,所以EH平面ABC ,

則為直線AE與底面ABC 所成角,

且………………………………………10分

又PO=1/2AC=,也所以有EH=1/2PO=,

由(Ⅰ)已證平面PBC,所以,即,

故,

于是

所以直線AE與底面ABC 所成角的正弦值為

 

在棱長為的正方體中,是線段的中點,.

(1) 求證:^；

(2) 求證://平面；

(3) 求三棱錐的表面積.

【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運用。第一問中，利用，得到結論，第二問中，先判定為平行四邊形，然后，可知結論成立。

第三問中，是邊長為的正三角形，其面積為，

因為平面，所以，

所以是直角三角形，其面積為，

同理的面積為， 面積為.  所以三棱錐的表面積為.

解: (1)證明：根據正方體的性質，

因為，

所以，又，所以，，

所以^.               ………………4分

(2)證明：連接，因為，

所以為平行四邊形，因此，

由于是線段的中點，所以，      …………6分

因為面，平面，所以∥平面.   ……………8分

(3)是邊長為的正三角形，其面積為，

因為平面，所以，

所以是直角三角形，其面積為，

同理的面積為，              ……………………10分

面積為.          所以三棱錐的表面積為

 

請先閱讀：
設平面向量=（a₁，a₂），=（b₁，b₂），且與的夾角為θ，
因為•=||||cosθ，
所以•≤||||．
即，
當且僅當θ=0時，等號成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），結合空間向量，證明：對于任意a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，b₃∈R，都有成立；
（II）試求函數的最大值．