（2013•宿遷一模）【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區域內作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知AB，CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的 垂直平分線，若AB=6，CD=2

5

，求線段AC的長度．
B．選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
已知矩陣M=

2 1 1 a

的一個特征值是3，求直線x-2y-3=0在M作用下的新直線方程．
C．選修4-4：坐標系與參數方程（本小題滿分10分）
在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程是

x=cosα y=sinα+1

（α是參數），若以O為極點，x軸的正半軸為極軸，取與直角坐標系中相同的單位長度，建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．
D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
已知關于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集為R，求正實數a的取值范圍．

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（如圖）過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB；若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．
（1）求橢圓

x2

5

+y2=1的“左特征點”M的坐標．
（2）試根據（1）中的結論猜測：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的“左特征點”M是一個怎么樣的點？并證明你的結論．

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（如圖）過橢圓=1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB；若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．
（1）求橢圓=1的“左特征點”M的坐標．
（2）試根據（1）中的結論猜測：橢圓=1（a＞b＞0）的“左特征點”M是一個怎么樣的點？并證明你的結論．

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（如圖）過橢圓=1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB；若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．
（1）求橢圓=1的“左特征點”M的坐標．
（2）試根據（1）中的結論猜測：橢圓=1（a＞b＞0）的“左特征點”M是一個怎么樣的點？并證明你的結論．

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1．A2．C3．B4．D  5．C  6．B  7．D8．B9．B10．D11．A12．D13．C

13．     14．   15．      16．    

17．（1）　　　　　　――2分

               ――2分

    ；            ――2分

   （II）                        ――2分

18．（Ⅰ）證明： 平面平面,,

平面平面=，

平面，                              

平面， ,………　2分

又為圓的直徑，，                    ……………………　4分

平面。                                    ……………………　5分

（Ⅱ）設的中點為，則，又，

則，為平行四邊形，                  ……………………　6分   

，又平面，平面，

平面。                                   ……………………8分

(Ⅲ)過點作于，平面平面，

平面，，   ……………………　9分 

平面，

，…………………　11分 

．                            ……………………　12分 

19．解：（1）解方程得或         1分

當時，或，此時         2分

當時，   3分

依次類推：

            5分

（2）

                    9分

（3）由得

                  11分

   設

   易證在上單調遞減，在（）上單調遞增。    13分

                   15分

20．解：(Ⅰ)設第二關不過關事件為，則事件是指第二關出現點數之和沒有大于,由第二關出現點數之和為2,3的次數分別為1,2知:…4分

答: 第二關未過關的概率為。………………5分

(Ⅱ)設第三關不過關事件為，則第三關過關事件為

由題設知：事件是指第三關出現點數之和沒有大于,………7分

由第三關出現點數之和為3,4,5的次數分別為1,3,6知: ……9分

∴………………11分

答: 第三關過關的概率為.………………12分

21．解：（Ⅰ）函數的導數為，   

由題意可知對于恒成立,     即對于恒成立,

可得。                 

另解：函數的導數為，當時恒成立；當時，

由得，則函數的單調增區間為與，

則當，即時滿足條件。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

過點A（1，0）作曲線C的切線，設切點，則切線方程為：

將代入得：

即（*）     

則  或           故滿足條件的切線只有兩條,且它們的斜率分別為與,則由得           

22．解：（Ⅰ）設橢圓方程為，則，得………2分

設，則，，兩式相減得，由拋物線定義可知，則或（舍去）

所以橢圓方程為，拋物線方程為。  

另解：過作垂直于軸的直線，即拋物線的準線，作垂直于該準線，

作軸于，則由拋物線的定義得，

所以

，

得，所以c＝1，

所以橢圓方程為，

拋物線方程為。  

（Ⅱ）設，直線，代入得：，即，

則  …………………………………………9分

同理，將代入得： ，

則，     ……………………………………………………11分

所以＝

    為定值。       …………………………………………………………………15分