Question

（如圖）過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB；若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．
（1）求橢圓

x2

5

+y2=1的“左特征點”M的坐標．
（2）試根據（1）中的結論猜測：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的“左特征點”M是一個怎么樣的點？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）設M(m，0)為橢圓

x2

5

+y2=1的左特征點，由橢圓左焦點F（-2，0），可設直線AB方程為x=ky-2（k≠0），代入

x2

5

+y2=1，得（k²+5）y²-4ky-1=0，由∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0整理可求．
（2）對于橢圓

x2

5

+y2=1，a=

5

，b=1，c=2，結合橢圓的性質特征可猜想：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左特征點是橢圓的左準線與x軸的交點，然后可以利用第二定義給與證明．

解答：解：（1）設M(m，0)為橢圓

x2

5

+y2=1的左特征點
因為，橢圓的左焦點F（-2，0），
可設直線AB的方程為x=ky-2（k≠0）
代入

x2

5

+y2=1，得：（ky-2）y²+5y²=5，
即（k²+5）y²-4ky-1=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得y1+y2=

4k

k2+5

，y1y2=-

1

k2+5

由于，∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0y₁（x₂-m）+y₂（x₁-m）=0，即y₁（ky₂-2）+y₂（ky₁-2）-（y₁+y₂）m=0
所以，2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+2）=0
于是，2k(-

1

k2+5

)-

4k

k2+5

(m+2)=

-2k[1+2(m+2)]

k2+5

=0
因為k≠0，所以1+2（m+2）=0，即m=-

5

2

M=(-

5

2

，0)
（2）對于橢圓

x2

5

+y2=1，a=

5

，b=1，c=2，-

a2

c

=-

5

2

于是猜想：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的“左特征點”是橢圓的左準線與x軸的交點
證明：設橢圓的左準線l與x軸相交于M點，過A、B分別作l的垂線，
垂足為C、D．
據橢圓的第二定義：

|AF|

|AC|

=

|BF|

|BD|

，即

|AF|

|BF|

=

|AC|

|BD|

由于AC∥FM∥BD，所以

|AF|

|BF|

=

|CM|

|DM|

于是

|AC|

|BD|

=

|CM|

|DM|

，即

|AC|

|CM|

=

|BD|

|DM|

所以，∠AMC=∠BMD⇒∠AMF=∠BMF
則MF為∠AMB的平分線
故M為橢圓的“左特征點”．

點評：本題以新定義為載體主要考查了橢圓性質的應用，直線與橢圓相交關系的處理，要注意解題中直線AB得方程設為x=ky-2（k≠0）的好處在于避免討論直線的斜率是否存在．