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題目列表(包括答案和解析)

在證明數(shù)學(xué)命題時，要證明的結(jié)論要么________，要么________，二者必居其一，我們可以先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個前提下，若推出的結(jié)果與________、________、________矛盾，或與命題中的________相矛盾，或與________相矛盾，從而斷定命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立，這種證明方法叫作________．

閱讀下面給出的定義與定理：
①定義：對于給定數(shù)列{x_n}，如果存在實常數(shù)p、q，使得x_n+1=px_n+q 對于任意n∈N₊都成立，我們稱數(shù)列{x_n}是“線性數(shù)列”．
②定理：“若線性數(shù)列{x_n}滿足關(guān)系x_n+1=px_n+q，其中p、q為常數(shù)，且p≠1，p≠0，則數(shù)列{xn-

1-p

}是以p為公比的等比數(shù)列．”
（Ⅰ）如果a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N₊，利用定義判斷數(shù)列{a_n}、{b_n}是否為“線性數(shù)列”？若是，分別指出它們對應(yīng)的實常數(shù)p、q；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）如果數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，且對于任意的n∈N^*，都有S_n=2c_n-3n，
①利用定義證明：數(shù)列{c_n}為“線性數(shù)列”；
②應(yīng)用定理，求數(shù)列{c_n}的通項公式；
③求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

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可以證明，對任意的n∈N^*，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項組成的數(shù)列a₁，a₂，a₃每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有滿足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}每項均非零，且對任意的n∈N^*有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．求證：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數(shù)列{a_n}，使得a₂₀₁₁=2009？若存在，寫出一個這樣的無窮數(shù)列（不需要證明它滿足條件）；若不存在，說明理由．

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