Question

可以證明, 對任意的, 有成立. 下面嘗試推廣該命題:

（1）       設由三項組成的數列每項均非零, 且對任意的有

成立, 求所有滿足條件的數列;

（2）設數列每項均非零, 且對任意的有

成立, 數列的前項和為. 求證: , ;

（3）是否存在滿足(2)中條件的無窮數列, 使得? 若存在, 寫出一個這樣的無窮數列(不需要證明它滿足條件); 若不存在, 說明理由.

Answer 1

解：（1） 取, 有, 又, 所以.                                                (2分)

取, 有, 于是, 又, 所以或2.                                                                                                          (4分)

取, 有.

當時, , 又, 所以.

當時, , 整理得, , 所以或.

綜上, 所有滿足條件的數列為.                                          (6分)

（2）由已知, , 用替換, 得到

.

兩式相減, 有

                            (9分)

 .

因, 所以, .                                                         (12分)

（3）存在. 是一個滿足條件的無窮數列.                      (18分)

注: 滿足(2)中條件的數列遞推式為或, 所以符合的數列前2012項必須為, 之后的項只需滿足遞推式即可, 但要注意不能出現值為0的項.