在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當時，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個點，使得，求此時二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質定理得到。當a=1時，底面ABCD為正方形，

又因為,………………2分

又，得證。

第二問，建立空間直角坐標系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得

由此知道a=2,  設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當時，底面ABCD為正方形，

又因為,又………………3分

(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,

設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

某市2000年底有100萬人，人均住房面積為10平方米，由于政策移民等因素，人口年平均增長6%．為了改善市民的住房條件，市政府規定；從2001年起，每年新建住房60萬平方米，若2001年記作第一年，
（1）寫出第n年該市的人口總數r_n（萬人）和住房總面積a_n（萬平方米）
（2）計算2006年底該市的人均住房面積（精確到0.1平方米）
（3）按照這種新房建設速度，到2008年底，若要實現本屆市政府提出的“人均住房面積達到14平方米”的目標，必須從2001年起，將人口的增長率控制在多少以內？（精確到0.1%）

建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為（如圖），考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側面的水泥用料最省，則斷面的外周長（梯形的上底線段與兩腰長的和）要最小．

（１）求外周長的最小值，并求外周長最小時防洪堤高h為多少米？

（２）如防洪堤的高限制在的范圍內，外周長最小為多少米？