Question

建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60°（如圖），考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其斷面面積為6

3

平方米，為了使堤的上面與兩側面的水泥用料最省，則斷面的外周長（梯形的上底線段BC與兩腰長的和）要最小．
（1）求外周長的最小值，此時防洪堤高h為多少米？
（2）如防洪堤的高限制在[ 3 ， 2

3

 ]的范圍內，外周長最小為多少米？

Answer 1

分析：（1）利用梯形的面積公式將梯形的上底、下底用h表示；將梯形周長用h表示；利用基本不等式求出周長的最小值．
（2）利用函數單調性的定義判斷出函數的單調性；利用函數的單調性求出周長的最小值．

解答：解：（1）6

3

=

1

2

(AD+BC)h，AD=BC+2×hcot60°=BC+

2 3

3

h，6

3

=

1

2

(2BC+

2 3

3

h)h，解得BC=

6 3

h

-

3

3

h．
設外周長為l，則l=2AB+BC=

2h

sin60°

+

6 3

h

-

3

3

h=

3

h+

6 3

h

≥6

2

；
當

3

h=

6 3

h

，即h=

6

時等號成立．外周長的最小值為6

2

米，此時堤高h為

6

米．
（2）

3

h+

6 3

h

=

3

(h+

6

h

)，設3≤h1＜h2≤2

3

，
則h2+

6

h2

-h1-

6

h1

=(h2-h1)(1-

6

h1h2

)＞0，l是h的增函數，
∴lmin=

3

×3+

6 3

3

=5

3

（米）．（當h=3時取得最小值）．

點評：將實際問題轉化為函數模型、利用基本不等式求函數的最值注意需滿足：一正、二定、三相等；
利用函數單調性的定義判斷函數的單調性、利用函數的單調性求函數的最值．