Question

建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60°（如圖），考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其斷面面積為平　 方米，為了使堤的上面與兩側面的水泥用料最省，則斷面的外周長（梯形的上底線段BC與兩腰長的和）要最小．
求外周長的最小值，此時防洪堤高h為多少米？

Answer 1

解：由題意，如圖AD=BC+2×hcot60°=BC+，------------------------------------------------------（2分）
所以，---------------------------------------------（3分）
得．-----------------------------------------------------------------------------（4分）
設外周長為l，則，-----------------------------（7分）
=；----------------------------------------------------------------------------（10分）
當，即時等號成立．----------------------------------------------------（12分）
外周長的最小值為米，此時堤高h為米．-----------------------------------------（14分）
分析：本題是一個應用題，研究的是用料最省，此類題一般要建立函數關系，利用求最值得出最佳方案，由題設條件，此斷面的面積已知，求外周長的最小值，引入變量防洪堤高h建立外周長關于h的函數，再根據函數的形式求最值即可
點評：本題考查已知三角函數模型的應用問題，解題的關鍵是建立起符合條件的函數的模型，由于本題是一個研究用料最省的問題，故建立函數模型后要根據函數的形式選擇求最值的方法，由于本題在建立函數模型中出現了積為定值的形式，故采取了用基本不等式求最值，利用此法求最值有一易錯點，即忘記驗證等號成立的條件，對規律性強的題一定要把握好規律，準確記憶