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數列，滿足

（1）求，并猜想通項公式。

（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想。

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式求解，并用數學歸納法加以證明。第一問利用遞推關系式得到，，，，并猜想通項公式

第二問中，用數學歸納法證明（1）中的猜想。

①對n=1，等式成立。

②假設n=k時，成立，

那么當n=k+1時，

，所以當n=k+1時結論成立可證。

數列，滿足

（1），，，并猜想通項公。  …4分

（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想。①對n=1，等式成立。  …5分

②假設n=k時，成立，

那么當n=k+1時，

，             ……9分

所以

所以當n=k+1時結論成立                     ……11分

由①②知，猜想對一切自然數n均成立

 

設向量.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若函數，求的最小值、最大值.

【解析】第一問中，利用向量的坐標表示，表示出數量積公式可得

第二問中，因為，即換元法

令得到最值。

解：（I）

（II）由（I）得：

令

.

時，

 

已知是等差數列，其前n項和為S_n，是等比數列，且，.

（Ⅰ）求數列與的通項公式；

（Ⅱ）記，，證明（）.

【解析】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q.

由，得，，.

由條件，得方程組，解得

所以，，.

（2）證明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：數學歸納法）

①  當n=1時，，，故等式成立.

②  假設當n=k時等式成立，即，則當n=k+1時，有：

   

   

即，因此n=k+1時等式也成立

由①和②，可知對任意，成立.

 

如圖，是△的重心，、分別是邊、上的動點，且、、三點共線．

（1）設，將用、、表示；

（2）設，，證明：是定值；

（3）記△與△的面積分別為、．求的取值范圍．

（提示：

【解析】第一問中利用（1）

第二問中，由（1），得；①

另一方面，∵是△的重心，

∴

而、不共線，∴由①、②，得

第三問中，

由點、的定義知，，

且時，；時，．此時，均有．

  時，．此時，均有．

以下證明：，結合作差法得到。

解：（1）

．

（2）一方面，由（1），得；①

另一方面，∵是△的重心，

∴．  ②

而、不共線，∴由①、②，得 

解之，得，∴（定值）．

（3）．

由點、的定義知，，

且時，；時，．此時，均有．

  時，．此時，均有．

以下證明：．（法一）由（2）知，

∵，∴．

∵，∴．

∴的取值范圍

 

設橢圓（常數）的左右焦點分別為，是直線上的兩個動點，．

（1）若，求的值；

（2）求的最小值．

【解析】第一問中解：設，則

由得    由，得

  ② 

第二問易求橢圓的標準方程為：

，

所以，當且僅當或時，取最小值．

解：設， ……………………1分

則，由得     ①……2分

（1）由，得  ②   ……………1分

    ③    ………………………1分

由①、②、③三式，消去，并求得． ………………………3分

（2）解法一：易求橢圓的標準方程為：．………………2分

， ……4分

所以，當且僅當或時，取最小值．…2分

解法二：， ………………4分

所以，當且僅當或時，取最小值