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已知函數f(x)=x2+

2

x

+alnx(x＞0)，f（x）的導函數是f′（x）．對任意兩個不相等的正數x₁、x₂，證明：
（Ⅰ）當a≤0時，

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)；
（Ⅱ）當a≤4時，|f′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|．

若實數x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x²-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a³+b³比a²b+ab²遠離2ab

ab

；
（3）已知函數f（x）的定義域D={{x|x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的基本性質（結論不要求證明）．

（類型A）已知函數f（x）=x2+

2

x

+alnx(x＞0)，f（x）的導函數是f′（x），對任意兩個不相等的正數x₁，x₂，證明：
（1）當a≤0時，

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)
（2）當a≤4時，|f′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|
（類型B）某旅行社在暑假期間推出如下旅游團組團辦法：達到100人的團體，每人收費1000元．如果團體的人數超過100人，那么每超過1人，每人平均收費降低5元，但團體人數不能超過180人．如何組團，可使旅行社的收費最多？