Question

若實數x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x²-1比3遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a³+b³比a²b+ab²遠離2ab

ab

．

Answer 1

分析：（1）利用新定義即可求出x的取值范圍；
（2）利用新定義和不等式的性質即可證明．

解答：解：（1）由題設|x²-1-0|＞|3-0|，
∴x²-1＜-3或x²-1＞3，即x²＜-2或x²＞4；
由x²＞4，解得x＜-2或x＞2；
而x²＜-2的解集為∅．
∴x的取值范圍為{x|x＜-2，或x＞2}．
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，
有a3+b3＞2ab

ab

，
∵|a3+b3-2ab

ab

|-|a2b+ab2-2ab

ab

|=（a+b）（a-b）²＞0，
∴|a3+b3-2ab

ab

|＞|a2b+ab2-2ab

ab

|．
即a³+b³比a²b+ab²遠離2ab

ab

．

點評：熟練掌握不等式的解法和證明是解題的關鍵．