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設直線l：y=x+m，雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，雙曲線的離心率為

3

，l與E交于P，Q兩點，直線l與y軸交于點R，且

OP

•

OQ

=-3，

PR

=3

RQ

.
（1）證明：4a²=m²+3；
（2）求雙曲線E的方程；
（3）若點F是雙曲線E的右焦點，M，N是雙曲線上兩點，且

MF

=λ

FN

，求實數(shù)λ的取值范圍．

已知兩定點A(0，-1)，C(0，2)，動點M滿足∠MCA=2∠MAC．

(Ⅰ)求動點M的軌跡Q的方程；

(Ⅱ)設曲線Q與y軸的交點為B，點E、F是曲線Q上兩個不同的動點，且·=0，直線AE與BF交于點P(x₀，y₀)，求證：為定值．

已知兩定點A(0，-1)，C(0，2)，動點M滿足∠MCA=2∠MAC.

(Ⅰ)求動點M的軌跡Q的方程；

(Ⅱ)設曲線Q與y軸的交點為B，點B、F是曲線Q上兩個不同的動點，且=0，直線AE與BF交于點P(x₀，y₀)，求證：為定值;

(Ⅲ)在第(Ⅱ)問的條件下，求證：過點p′(0，y₀)和點E的直線是曲線Q的一條切線.

(Ⅳ)在第(Ⅱ)問的條件下，試問是否存在點E使得(或)，若存在，求出此時點E的坐標；若不存在，說明理由.