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如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，是線段的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理，以及二面角的求解的運用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得證明

（3）因為∴為面的法向量．∵，，

∴為平面的法向量．∴利用法向量的夾角公式，，

∴與的夾角為，即二面角的大小為．

方法一：解:（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系．連接，則點、，

∴，又點，，∴

∴，且與不共線，∴．

又平面，平面，∴平面．…………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．   ………8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴為面的法向量．∵，，

∴為平面的法向量．∴，

∴與的夾角為，即二面角的大小為

三棱柱中，側棱與底面垂直，，，分別是，的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積．

【解析】第一問利連結，，∵M,N是AB，的中點∴MN//．

又∵平面，∴MN//平面．      ----------4分

⑵中年∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱與底面垂直，∴四邊形是正方形．∴．∴．連結，．

∴，又N中的中點，∴．

∵與相交于點C，∴MN平面．      --------------9分

⑶中由⑵知MN是三棱錐M-的高．在直角中，，

∴MN=．又．．得到結論。

⑴連結，，∵M,N是AB，的中點∴MN//．

又∵平面，∴MN//平面．   --------4分

⑵∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱與底面垂直，

∴四邊形是正方形．∴．

∴．連結，．

∴，又N中的中點，∴．

∵與相交于點C，∴MN平面．      --------------9分

⑶由⑵知MN是三棱錐M-的高．在直角中，，

∴MN=．又．