Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°，邊長為a的菱形，又PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．
（Ⅰ）證明：PB⊥AC；
（Ⅱ）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（Ⅲ）求點A到面PMB的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證PB⊥AC，只要證明AC⊥面PDB，由底面是菱形，PD⊥底面ABCD可得到證明；
（Ⅱ）要證平面PMB⊥平面PAD，只要證BM⊥面PAD即可，只要證明BM⊥AD，由三角形ABD為等邊三角形，且M為AD中點得證；
（Ⅲ）利用等積法求點A到面PMB的距離．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
連接AC，BD，∵底面ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD⊥面ABCD，∴AC⊥PD，又PD∩BD=D，
∴AC⊥面PBD，而PB?面PBD，∴PB⊥AC；
（Ⅱ）證明：∵PD⊥面ABCD，BM?面ABCD，∴PD⊥BM，
又∵∠A=60°，AB=AD，∴△ABD為等邊三角形，且M為AD中點，
∴AD⊥BM，又AD∩PD=D，
∴BM⊥面PAD，又∵BM?面PBM，∴面PMB⊥面PAD；
（Ⅲ）解：設點A到面PMB的距離為h，對于三棱錐P-AMB，有V_P-AMB=V_A-BMP，
∴

1

3

×

1

2

×

a

2

×

3 a

2

×a=

1

3

×

1

2

×

3 a

2

×

5 a

2

×h，∴h=

5 a

5

．
即點A到面PBM的距離為

5 a

5

．

點評：本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了直線與平面垂直的性質，訓練了利用“等積法”求空間點到面的距離，考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．