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在中，,分別是角所對邊的長，，且

（1）求的面積；

（2）若，求角C．

【解析】第一問中，由又∵∴∴的面積為

第二問中，∵a =7  ∴c=5由余弦定理得：得到b的值，然后又由余弦定理得：         

又C為內角      ∴

解：（1） ………………2分

   又∵∴                   ……………………4分

     ∴的面積為           ……………………6分

（2）∵a =7  ∴c=5                                  ……………………7分

 由余弦定理得：      

    ∴                                     ……………………9分

又由余弦定理得：         

又C為內角      ∴                           ……………………12分

另解：由正弦定理得：  ∴ 又  ∴

 

已知在中，，，，解這個三角形；

【解析】本試題主要考查了正弦定理的運用。由正弦定理得到：，然后又       

又再又得到c。

解：由正弦定理得到：

又                       ……4分

又      ……8分

又    

 

（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）

在平行四邊形中，已知過點的直線與線段分別相交于點。若。

（1）求證：與的關系為；

（2）設，定義函數，點列在函數的圖像上，且數列是以首項為1，公比為的等比數列，為原點，令，是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由。

（3）設函數為上偶函數，當時，又函數圖象關于直線對稱， 當方程在上有兩個不同的實數解時，求實數的取值范圍。

設點是拋物線的焦點，是拋物線上的個不同的點（）.

（1） 當時，試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標，從而使得

；

（2）當時，若，

求證：；

（3） 當時，某同學對（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開展了研究并發現其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：

① 試構造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對任意給定的大于3的正整數，試構造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為，設，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時，拋物線的焦點為，

設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線的焦點為，設，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為，所以，

故可取滿足條件.

（2）設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

；

所以.

（3） ①取時，拋物線的焦點為，

設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個當時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設，分別過作

拋物線的準線的垂線，垂足分別為，

由及拋物線的定義得

，即.

因為上述表達式與點的縱坐標無關，所以只要將這點都取在軸的上方，則它們的縱坐標都大于零，則

，

而，所以.

（說明：本質上只需構造滿足條件且的一組個不同的點，均為反例.）

③ 補充條件1：“點的縱坐標（）滿足 ”，即：

“當時，若，且點的縱坐標（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設，

分別過作拋物線準線的垂線，垂足分別為，由，

及拋物線的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補充條件2：“點與點為偶數，關于軸對稱”，即：

“當時，若，且點與點為偶數，關于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）

 

在棱長為的正方體中,是線段的中點,.

(1) 求證:^；

(2) 求證://平面；

(3) 求三棱錐的表面積.

【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運用。第一問中，利用，得到結論，第二問中，先判定為平行四邊形，然后，可知結論成立。

第三問中，是邊長為的正三角形，其面積為，

因為平面，所以，

所以是直角三角形，其面積為，

同理的面積為， 面積為.  所以三棱錐的表面積為.

解: (1)證明：根據正方體的性質，

因為，

所以，又，所以，，

所以^.               ………………4分

(2)證明：連接，因為，

所以為平行四邊形，因此，

由于是線段的中點，所以，      …………6分

因為面，平面，所以∥平面.   ……………8分

(3)是邊長為的正三角形，其面積為，

因為平面，所以，

所以是直角三角形，其面積為，

同理的面積為，              ……………………10分

面積為.          所以三棱錐的表面積為