題目列表(包括答案和解析)
| x2 | e |
| x2 |
| e |
已知曲線
和曲線
均與直線
相切。
（1）求實數
的值；
（2）設直線
與曲線
及直線
分別相交于點
，記
，求
在區間
（
為自然對數的底）上的最大值；
一：填空題
1、2； 2、
x∈R，使x2+1＜x； 3、π； 4、；
5、既不充分也不必要條件；
6、1+i； 7、； 8、5； 9、； 10、(-∞, -)∪(,+∞)；
11、2或5； 12、9； 13、b1?b22?b33?…?bnn=； 14、；
二:
解答題
15．解：（1）∵(a=(cosα,sinα) (b=(cosβ,sinβ)
∴(a?(b=cos(α-β) =cos= …………………………………………5分
（2）∵
∴
………7分
α+β=2α-(α-β)= -(α-β)
……………………………………9分
∴
或
或7……………14分
16、證明：（1）令BC中點為N，BD中點為M，連結MN、EN
∵MN是△ABC的中位線
∴ MN∥CD …………………………2分
由條件知AE∥CD ∴MN∥AE 又MN=CD=AE
∴四邊形AEMN為平行四邊形
∴AN∥EM …………………………4分
∵AN
面BED, EM
面BED
∴AN∥面BED……………………6分
（2） ∵AE⊥面ABC, AN
面ABC
∴AE⊥AN 又∵AE∥CD,AN∥EM∴EM⊥CD………………8分
∵N為BC中點，AB=AC∴AN⊥BC
∴EM⊥BC………………………………………………10分
∴EM⊥面BCD…………………………………………12分
∵EM面BED ∴ 面BED⊥面BCD ……14分
17．解：（1）取弦的中點為M，連結OM
由平面幾何知識，OM=1
…………………………………………3分
解得：
，
………………………………………5分
∵直線過F、B ，∴
則
…………………………………………7分
（2）設弦的中點為M，連結OM
則
……………………………………10分
解得
…………………………………………12分
∴
……………………………15分
18．（1）延長BD、CE交于A，則AD=
，AE=2
則S△ADE= S△BDE= S△BCE=
, ∵S△APQ=，
∴
∴
…………………7分
（2）
=
?
………………12分
當
，即
……15分
19．解（1）證：
由
得
在C1上點
處的切線為y-2e=2(x-e)，即y=2x
又在C2上點處切線可計算得y-2e=2(x-e)，即y=2x
∴直線l與C1、C2都相切，且切于同一點（e,2e） …………………5分
（2）據題意：M(t, +e),N(t,2elnt),P(t,2t)
∵+e-2t=≥0,∴+e ≥2t
設h(t)= 2t-2elnt，則由h/(t)=2-=0得t=e ；
當t∈（0,e）時h/(t)＜0，h(t)單調遞減；且當t∈（e,+∞）時h/(t)＞0，h(t)單調遞增；
∴t＞0有h(t)≥h(e)=0 ∴2t≥2elnt
∴f(t)=+e-2t-(2t-2elnt)= +e -4t+2elnt………………4分
f(t)= +2e-4==≥0…………………7分
∴
在
上遞增∴當
時
………10分
（3）
設上式為
，假設
取正實數，則
?
當
時，
，
遞減；
當
，
，遞增． ……………………………………12分
∵
∴不存在正整數，使得
即
…………………16分
20．解：（1）
，
，
對一切
恒成立
的最小值，又
，
………………4分
（2）
這5個數中成等比且公比的三數只能為
只能是
，
…………………………8分
,
,
，
顯然成立
……………………………………12分
當
時，
，
∴
∴使成立的自然數n恰有4個正整數的p值為3……16分
三：理科附加題
21． A．解：(1)
∴
∴AB=CD
…………………………4分
（2）由相交弦定理得2×1=(3+OP)(3-OP)
∴
，∴
……………………………………10分
B．解：依題設有：
………………………………………4分
令
，則
…………………………………………5分
…………………………………………7分
………………………………10分
C．解：以有點為原點，極軸為
軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．（1）
，
，由
得
．
所以
．
即
為圓
的直角坐標方程． ……………………………………3分
同理
為圓
的直角坐標方程． ……………………………………6分
（2）由
相減得過交點的直線的直角坐標方程為
． …………………………10分
D．證明：（1）因為
所以
…………………………………………4分
（2）∵
…………………………………………6分
同理，
，
……………………………………8分
三式相加即得
……………………………10分
22．解：（1）記“恰好選到1個曾參加過數學研究性學習活動的同學”為事件的
,
則其概率為
…………………………………………4分
答：恰好選到1個曾經參加過數學研究性學習活動的同學的概率為
（2）隨機變量
P(ξ=2)= =; P(ξ=3)= =;
………7分
2
3
4
P
∴隨機變量的分布列為
………………10分
23．（1）
，
，
，
，
,
………………3分
（2）平面BDD1的一個法向量為
，設平面BFC1的法向量為
∴
取
得平面BFC1的一個法向量
∴所求的余弦值為
……………………………………6分
（3）設
（
）
，由
得
即
，
,當
時，
當
時，∴
……………10分
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