題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）設函數(shù)f (x)滿足f (0) =1，且對任意
，都有f (xy+1) = f (x) f (y)－f (y)－x+2．(I) 求f (x) 的解析式；(II) 若數(shù)列{an}滿足：an+1=3f (an)－1(n ?? N*)，且a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式；
(Ⅲ)求數(shù)列{an}的前n項和Sn．
（本小題滿分14分）
設正整數(shù)數(shù)列{an}滿足：a2＝4，且對于任何
n∈N*，有
．
（1）求a1，a3；
（2）求數(shù)列{ an }的通項an．
（本小題滿分14分）
設正整數(shù)數(shù)列{an}滿足：a2＝4，且對于任何
n∈N*，有
．
（1）求a1，a3；
（2）求數(shù)列{ an }的通項an ．
（本小題滿分14分）
設b>0，數(shù)列
}滿足a1=b,
（1）求數(shù)列
的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，2a
b
+1
．一、選擇題：
1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．A ９．C 10．A 11．C 12．D
二、填空題：13. －２ 14．１１ １５． 學模擬測試題（四）.files/image115.gif)
學模擬測試題（四）.files/image016.gif)
⊥學模擬測試題（四）.files/image020.gif)
或 學模擬測試題（四）.files/image117.gif)
⊥
１６．3 １７．學模擬測試題（四）.files/image119.gif)
１８．學模擬測試題（四）.files/image121.gif)
三、解答題
19．解：（Ⅰ）記至少有一次中一等獎的事件為Ａ，
則其概率Ｐ（Ａ）＝學模擬測試題（四）.files/image123.gif)
＋學模擬測試題（四）.files/image125.gif)
＝學模擬測試題（四）.files/image127.gif)
．
答：至少有一次中一等獎的概率為． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
注：本小問缺少事件命名、答，各扣一分．
（Ⅱ）每次抽取獎券都是相互獨立的，其中后四次分別看作獨立重復實驗． ．．．．．．．．７分
設第一次中一等獎，后四次中恰有２次中二等獎的事件為B， ．．．．．．．．．．．８分
則其概率Ｐ（B）學模擬測試題（四）.files/image129.gif)
=0.05292 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１１分
答：第一次中一等獎，后四次中恰有２次中二等獎的概率為0.05292． ．．．．．．．．．．１2分
20．解：（Ⅰ）學模擬測試題（四）.files/image131.gif)
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
由題意學模擬測試題（四）.files/image133.gif)
，代入上式，解之得：a=1，b=1． ．．．．．．．．．．5分
（２）當b=1時，學模擬測試題（四）.files/image135.gif)
學模擬測試題（四）.files/image137.gif)
因學模擬測試題（四）.files/image139.gif)
故方程有兩個不同實根學模擬測試題（四）.files/image141.gif)
． ．．．．．．．．．．．．8分
不妨設學模擬測試題（四）.files/image143.gif)
，由學模擬測試題（四）.files/image145.gif)
可判斷學模擬測試題（四）.files/image147.gif)
的符號如下：
當學模擬測試題（四）.files/image149.gif)
＞０；
當學模擬測試題（四）.files/image152.gif)
＜０；
當學模擬測試題（四）.files/image154.gif)
＞０
因此學模擬測試題（四）.files/image156.gif)
是極大值點，學模擬測試題（四）.files/image158.gif)
是極小值點． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11分
所以，當b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)學模擬測試題（四）.files/image087.gif)
總有兩個不同的極值點．．．．．12分．
學模擬測試題（四）.files/image160.gif)
21．21．解:
（Ⅰ）設P點在平面ABCD上的射影為O, 連接CO,則∠PCO就是PC與平面ABCD所成的角,--------------------------1分
取AB的中點M,連接PM、OM,因為PA=PB,所以PM⊥AB,由三垂線定理的逆定理得OM⊥AB,,所以∠PMO就是二面角P-AB-C的平面角，即∠PMO=600，--------------2分
在ΔPAB中，
PM=學模擬測試題（四）.files/image162.gif)
學模擬測試題（四）.files/image164.gif)
過O作ON⊥BC交BC于N,則BN=MO=1,
在RtΔCON中,OC=學模擬測試題（四）.files/image166.gif)
------------------------3分
在RtΔPOC中 ，tan∠PCO=學模擬測試題（四）.files/image168.gif)
即PC與平面ABCD所成的角為arctan學模擬測試題（四）.files/image170.gif)
.-------------------------------------5分
(Ⅱ)連接AC、BD.交于點H,則H為AC的中點，取PC中點E，則PA∥HE,-----7分
學模擬測試題（四）.files/image172.gif)
所求。---9分
（Ⅲ）取PA中點為F,連接HF,則HF∥PC,所以∠BHF為異面直線PC與BD所成的角或其補角。----------------10分
在ΔBHF中，學模擬測試題（四）.files/image174.gif)
學模擬測試題（四）.files/image176.gif)
-------12分
學模擬測試題（四）.files/image178.gif)
COS∠BHF=學模擬測試題（四）.files/image180.gif)
∠BHF=arccos學模擬測試題（四）.files/image182.gif)
,即PC與BD所成的角為 arccos。--------14分
22．解：（Ⅰ）以AB中點為坐標原點，直線AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則 A（－1,0），B（1,0）………………………………………1’
學模擬測試題（四）.files/image184.gif)
設M（x,y）,由題意：|MP|=|MA|,|BP|=2，所以 |MB|+|MA|=2 ……..3’
故曲線C是以A、B為焦點，長軸長為2的橢圓，……………………..5’
其方程為x2+2y2=2 ……………………….7’
（Ⅱ）直線l與曲線C的位置關系是相切。…………………8’
證明如下: 由（Ⅰ）知曲線C方程為x2+2y2=2，
設P(m,n)，則P在⊙B上，故(m-1)2+n2=8，即m2+n2=7+2m …………..9’
當P、A、B共線時，直線l的方程為x=±，顯然結論成立. ………….10’
當P、A、B 不共線時，直線l的方程為：y-=-(x-)
整理得，y=－(x-)＋＝－x＋=－x＋ ………………….11’
把直線l的方程代入曲線C方程得：x2+2（－x＋）2＝2
整理得，[n2+2(m+1)2]x2-4(m+1)(m+3)x+2(m+3)2-2n2=0 ………………………12’
學模擬測試題（四）.files/image186.gif)
判別式△＝[4(m+1)(m+3)]2-4[n2+2(m+1)2]
[2(m+3)2-2n2]= -8n2[(m+3)2-n2-2(m+1)2]
=-8n2[-m2-n2+2m+7]=0
∴直線l與曲線C相切 ……………………………14’
說明：以A或B為原點建系，可參照得分.
另證：在直線l上任取一點M’，連結M’A、M’B、MA，……………………………9’
由垂直平分線的性質得 |M’A|=|M’P|，……………………………11’
∴|M’A|+|M’B|＝|M’P|+|M’B|≥｜PB｜＝2（當且僅當M、M’重合時取”=”號） ……13’
∴直線l與橢圓C有且僅有一個公共點M
結論得證. …………14’
23解：（Ⅰ）；由Sn+2－ (t+1)Sn+1＋tSn=0，得(t+1)Sn+1= Sn+2＋tSn，即學模擬測試題（四）.files/image188.gif)
,
（2分）
而 a1=t，a2=t2 （3分）
所以，當t≠0時，數(shù)列學模擬測試題（四）.files/image102.gif)
是以t為首項，t為公比的等比數(shù)列.于是學模擬測試題（四）.files/image190.gif)
。
經(jīng)驗證當t=0時上述結論仍成立 （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知學模擬測試題（四）.files/image192.gif)
，則有
學模擬測試題（四）.files/image194.gif)
學模擬測試題（四）.files/image196.gif)
（5分）
當t≠0時
學模擬測試題（四）.files/image198.gif)
（6分）
于是有學模擬測試題（四）.files/image200.gif)
，解得學模擬測試題（四）.files/image202.gif)
（7分）
所以學模擬測試題（四）.files/image204.gif)
經(jīng)驗證當t=0時上述結論仍成立 （9分）
（Ⅲ）＝(tn＋t-n) ∵(tn＋t-n)－(2n＋2-n)＝(tn－2n)[1－()n] 且學模擬測試題（四）.files/image018.gif)
＜t＜2
∴＜<1 ∴tn－2n＜0且1－()n<0
∴(tn－2n) [1－()n]<0
∴tn＋t-n<2n＋2-n （11分）
∴ 2（ ++ ……+）<(2+22+……+2n)+ (2-1+2-2+……+2-n)=2(2n-1)+1-2-n
=2n+1－（1＋2-n） （12分）
＜2n+1－2
∴學模擬測試題（四）.files/image111.gif)
<學模擬測試題（四）.files/image113.gif)
（14分）
另解：對f(t)求導，可得函數(shù)學模擬測試題（四）.files/image206.gif)
在區(qū)間學模擬測試題（四）.files/image208.gif)
上單調減，在區(qū)間學模擬測試題（四）.files/image210.gif)
上單調增，且f()=f(2)
于是有學模擬測試題（四）.files/image212.gif)
所以<學模擬測試題（四）.files/image214.gif)
=學模擬測試題（四）.files/image216.gif)
學模擬測試題（四）.files/image218.gif)
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