函數應用題：某廠生產一種機器的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但是每生產100臺需要加可變成本（另增加投入）0.25萬元，市場對此產品的年需求量為500臺．銷售收入（單位：萬元）的函數為（0≤x≤5），其中x是產品售出的數量（單位：百臺）．
（1）寫出利潤G（x）表示為年產量的函數關系式．
（2）年產量為多少時，工廠所得利潤最大？

設函數．

(Ⅰ) 當時，求的單調區間；

(Ⅱ) 若在上的最大值為，求的值．

【解析】第一問中利用函數的定義域為（0，2），.

當a=1時，所以的單調遞增區間為（0，），單調遞減區間為（，2）；

第二問中，利用當時， >0, 即在上單調遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.

解：函數的定義域為（0，2），.

（1）當時，所以的單調遞增區間為（0，），單調遞減區間為（，2）；

（2）當時， >0, 即在上單調遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.

把函數的圖象按向量平移得到函數的圖象．　

(1)求函數的解析式； (2)若，證明：.

【解析】本試題主要考查了函數 平抑變換和運用函數思想證明不等式。第一問中，利用設上任意一點為（x,y）則平移前對應點是（x+1,y-2）代入　，便可以得到結論。第二問中，令，然后求導，利用最小值大于零得到。

(1)解：設上任意一點為（x,y）則平移前對應點是（x+1,y-2）代入　得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以．……4分

(2) 證明：令，……6分

則……8分

,∴,∴在上單調遞增．……10分

故，即