題目列表(包括答案和解析)
選擇題： CABDA BBADA BB
4、原式
由條件可求得：
原式
故選D
5、由題得
，則
是公比為
的等比數列，則
，故選答案
6、由已知可得
，直線
的方程
，
直線過兩個整點
，（
），即
，故應選B
7、令
，則
，其值域為
．由
對數函數的單調性可知：
，且
的最小值
而，
故選答案
。
8、共有
個四位數，其中個位數字是1，且恰好有兩個相同數字的四位數分為兩類：一類：“
個；另一類；其他三個數字之一重復，有
種。所以答案為：A
9、由題意可知滿足
的
的軌跡是雙曲線的右支，根據“單曲線型直線”的定義可知，就是求哪條直線與雙曲線的右支有交點，故選D
10、選。可以證明D點和AB的中點E到P點和C點的距離相等，所以排除B和C選項。滿足
的點在PC的中垂面上，PC的中垂面與ABCD的交線是直線，從而選A。
11、解：以
的平分線所在直線為
軸，建立坐標系，設
，則
則
、
、
，
所以
，故當且僅當
，即
為正三角形時，
故選B
12、
則
，
，
故
則
的最小值為，故選答案。
二、填空題
13、
。
14、利用正弦定理可將已知等式變為
即
，
，
當
時，
有最大值
15、
。
16、
。畫圖分析得
球
在二面角
內的那一部分的體積是球的體積的，所以
。
三、解答題：
17、解：
（1）由
得
或
在
上是增函數，
可額
可得
18、（1）如圖建立空間直角坐標系，則
設
分別為
的重心，
，
，即
（2）（i）
平面
，
，平面的法向量為
，
平面
的法向量為
故
，即二面角
的大小為
（ii）設平面
的法向量
，
，由
解得
又
，點
到平面
的距離為
18、解：（I）抽取的球的標號可能為1，2，3，4
則
分別為0，1，2，3：
分別為
因此
的所有取值為0，1，2，3，4，5
當
時，可取最大值5，此時
（Ⅱ）當
時，
的所有取值為（1，2），此時
；
當
時，的所有取值為（1，1），（1，3），（2，2），此時
當
時，的所有取值為（1，4），（2，1），（2，3），（3，2）此時
當
時，的所有取值為（2，4），（3，1），（3，3），(4，2)此時
當
時，的所有取值為（3，4），（4，1），（4，3），此時
故的分布列為：
0
1
2
3
4
5
。
20解：（1）
故
。
（Ⅱ）由（I）知
令
則
。當
時，
；
當
時，
（Ⅲ）
，
①-②得
令
則
。
則
。
而
。
21、（I）解：依題設得橢圓的方程為
，
直線
的方程分別為
如圖，設
其中
，
且
滿足方程
故
①
由
知
得
由
在
上知
得
。
所以
，化簡得
，
解得
或
。
（Ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點
，
到的距離分別為
，
又
，所以四邊形
的面積為
，
當
即當
時，上式取等號，所以
的最大值為2
。
解法二：由題設，
，
設
由①得
，
故四邊形的面積為
+
=
當
時，上式取等號，所以的最大值為
22、解：（I）由題設可得
函數在
上是增函數，
當
時，不等式
即
恒成立。
當時，
的最大值為1，則實數
的取值范圍是；
（Ⅱ）當
時，
當
時，
，于是 在
上單調遞減；
當
時，
，于是在
上單調遞增。
又
綜上所述，當
時，函數在
上的最小值為
，當
時，
函數在上的最大值為
（Ⅲ）當時，由（Ⅰ）知
在上是增函數
對于任意的正整數
，有
，則
即
，
。
。
而
則
成立，
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