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某高中地處縣城，學校規定家到學校的路程在10里以內的學生可以走讀，因交通便利，所以走讀生人數很多．該校學生會先后5次對走讀生的午休情況作了統計，得到如下資料：
①若把家到學校的距離分為五個區間：[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10），則調查數據表明午休的走讀生分布在各個區間內的頻率相對穩定，得到了如圖所示的頻率分布直方圖；
②走讀生是否午休與下午開始上課的時間有著密切的關系．下表是根據5次調查數據得到的下午開始上課時間與平均每天午休的走讀生人數的統計表．

下午開始上課時間	1：30	1：40	1：50	2：00	2：10
平均每天午休人數	250	350	500	650	750

（Ⅰ）若隨機地調查一位午休的走讀生，其家到學校的路程（單位：里）在[2，6）的概率是多少？
（Ⅱ）如果把下午開始上課時間1：30作為橫坐標0，然后上課時間每推遲10分鐘，橫坐標x增加1，并以平均每天午休人數作為縱坐標y，試列出x與y的統計表，并根據表中的數據求平均每天午休人數與上課時間x之間的線性回歸方程=bx+a；
（Ⅲ）預測當下午上課時間推遲到2：20時，家距學校的路程在6里路以上的走讀生中約有多少人午休？

某高中地處縣城，學校規定家到學校的路程在10里以內的學生可以走讀，因交通便利，所以走讀生人數很多．該校學生會先后5次對走讀生的午休情況作了統計，得到如下資料：
①若把家到學校的距離分為五個區間：[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10），則調查數據表明午休的走讀生分布在各個區間內的頻率相對穩定，得到了如圖所示的頻率分布直方圖；
②走讀生是否午休與下午開始上課的時間有著密切的關系．下表是根據5次調查數據得到的下午開始上課時間與平均每天午休的走讀生人數的統計表．

下午開始上課時間	1：30	1：40	1：50	2：00	2：10
平均每天午休人數	250	350	500	650	750

（Ⅰ）若隨機地調查一位午休的走讀生，其家到學校的路程（單位：里）在[2，6）的概率是多少？
（Ⅱ）如果把下午開始上課時間1：30作為橫坐標0，然后上課時間每推遲10分鐘，橫坐標x增加1，并以平均每天午休人數作為縱坐標y，試列出x與y的統計表，并根據表中的數據求平均每天午休人數與上課時間x之間的線性回歸方程=bx+a；
（Ⅲ）預測當下午上課時間推遲到2：20時，家距學校的路程在6里路以上的走讀生中約有多少人午休？

已知函數在處取得極值2.

⑴ 求函數的解析式；

⑵ 若函數在區間上是單調函數，求實數m的取值范圍；

【解析】第一問中利用導數

又f(x)在x=1處取得極值2，所以，

所以

第二問中，

因為，又f(x)的定義域是R，所以由，得-1<x<1，所以f(x)在[-1,1]上單調遞增，在上單調遞減，當f(x)在區間(m,2m+1)上單調遞增，則有，得

解：⑴ 求導，又f(x)在x=1處取得極值2，所以，即，所以…………6分

⑵ 因為，又f(x)的定義域是R，所以由，得-1<x<1，所以f(x)在[-1,1]上單調遞增，在上單調遞減，當f(x)在區間(m,2m+1)上單調遞增，則有，得，                …………9分

當f(x)在區間(m,2m+1)上單調遞減，則有 

得                                                …………12分

.綜上所述，當時，f(x)在(m,2m+1)上單調遞增，當時，f(x)在(m,2m+1)上單調遞減；則實數m的取值范圍是或

 

已知函數

（1）若函數的圖象經過P（3，4）點，求a的值；

（2）比較大小，并寫出比較過程；

（3）若，求a的值.

【解析】本試題主要考查了指數函數的性質的運用。第一問中，因為函數的圖象經過P（3，4）點，所以，解得，因為，所以.

（2）問中，對底數a進行分類討論，利用單調性求解得到。

（3）中，由知，.，指對數互化得到，，所以，解得所以， 或 .

解：⑴∵函數的圖象經過∴，即.        … 2分

又，所以.             ………… 4分

⑵當時，;

當時，. ……………… 6分

因為，，

當時，在上為增函數，∵，∴.

即.當時，在上為減函數，

∵，∴.即.      …………………… 8分

⑶由知，.所以，（或）.

∴.∴，       … 10分

∴ 或 ，所以， 或 .

 

已知冪函數滿足。

（1）求實數k的值，并寫出相應的函數的解析式；

（2）對于（1）中的函數，試判斷是否存在正數m，使函數，在區間上的最大值為5。若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

【解析】本試題主要考查了函數的解析式的求解和函數的最值的運用。第一問中利用，冪函數滿足，得到

因為，所以k=0，或k=1，故解析式為

（2）由（1）知，，，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，結合二次函數的對稱軸，和開口求解最大值為5.，得到

（1）對于冪函數滿足，

因此，解得，………………3分

因為，所以k=0，或k=1，當k=0時，，

當k=1時，，綜上所述，k的值為0或1，。………………6分

（2）函數，………………7分

由此要求，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，

當時，，因為在區間上的最大值為5，

所以，或…………………………………………10分

解得滿足題意