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已知條件p：|x-1|＞a（a≥0）和條件q：lg（x²-3x+3）＞0，
（1）求滿足條件p，q的不等式的解集．
（2）分別利用所給的兩個條件作為A，B構造命題：“若A，則B”，問是否存在非負實數a使得構造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題，若存在，求出a的取值范圍．若不存在，請說明理由．

已知二次函數f（x）=ax²+bx，且f（x+1）為偶函數，定義：滿足f（x）=x的實數x稱為函數f（x）的“不動點”，若函數f（x）有且僅有一個不動點，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=f（x）+

k

x

+

1

2

x²在 （0，

6

3

]上是單調減函數，求實數k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在區間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區間[m，n]上的值域為[km，kn]？若存在，請求出區間[m，n]；若不存在，請說明理由．

已知函數f（x）=ax²+bx+5，記f（x）的導數為f′（x）．
（I）若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3，且x=

2

3

時，y=f（x）有極值，求函數f（x）的解析式；
（II）在（I）的條件下，求函數f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值；
（III）若關于x的方程f’（x）=0的兩個實數根為α、β，且1＜α＜β＜2試問：是否存在正整數n₀，使得|f′(n0)|≤

3

4

？說明理由．