Question

已知函數f（x）=

ax

x2+b

在x=1處取得極值2．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）實數m滿足什么條件時，函數f（x）在區間（m，2m+1）上單調遞增？
（3）是否存在這樣的實數m，同時滿足：①m≤1；②當x∈（-∞，m]時，f（x）≥m恒成立．若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

ax

x2+b

，知f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．由函數f（x）在x=1處取得極值2，得

f′(1)=0 f(1)=2

由此能求出f(x)=

4x

x2+1

．
（2）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

=0⇒x=±1．列表討論得到f(x)=

4x

x2+1

的單調增區間為[-1，1]．由此能求出函數f（x）在區間（m，2m+1）上單調遞增時實數m的條件．
（3）當m≤-1時，由（2）得f（x）在（-∞，m]單調遞減，要使f（x）≥m恒成立，必須f(x)min=f(m)=

4m

m2+1

≥m；當-1＜m＜1時，由（2）得f（x）在（-∞，-1）單調遞減，在（-1，m]單調遞增，
要使f（x）≥m恒成立，必須f（x）_min=f（-1）=-2≥m．由此能求出滿足條件的m的取值范圍．

解答：解：（1）已知函數f（x）=

ax

x2+b

，
∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．…（2分）
又函數f（x）在x=1處取得極值2，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

，
即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1.

，
∴f(x)=

4x

x2+1

．…（4分）
（2）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

=0⇒x=±1．…（5分）

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調遞減	極小值-2	單調遞增	極大值2	單調遞減

所以f(x)=

4x

x2+1

的單調增區間為[-1，1]．…（7分）
若（m，2m+1）為函數f（x）的單調增區間，
則有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

，
解得-1＜m≤0．
即m∈（-1，0]時，（m，2m+1）為函數f（x）的單調增區間．…（9分）
（3）分兩種情況討論如下：
①當m≤-1時，由（2）得f（x）在（-∞，m]單調遞減，
要使f（x）≥m恒成立，
必須f(x)min=f(m)=

4m

m2+1

≥m，…（10分）
因為m≤-1，

∴ 4 m2+1 ≤1，即m2+1≥4， ∴m2≥3

∴m≥

3

(舍去)或者m≤-

3

…（12分）
②當-1＜m＜1時，
由（2）得f（x）在（-∞，-1）單調遞減，在（-1，m]單調遞增，
要使f（x）≥m恒成立，
必須f（x）_min=f（-1）=-2≥m，
故此時不存在這樣的m值．
綜合①②得：滿足條件的m的取值范圍是m≤-

3

．         …（14分）

點評：本題考查函數解析式的求法，導數的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性，難度大，易出錯．