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（2009四川卷文）設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。                                       
（I）求數列與數列的通項公式；
（II）設數列的前項和為，是否存在正整數，使得成立？若存在，找出一個正整數；若不存在，請說明理由；
（III）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有；

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（09年崇文區二模理）（13分）

        設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；

②函數的導數滿足”

   （I）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。試用這一性質證明：方程只有一個實數根；

   （III）設x₁是方程的實數根，求證：對于定義域中任意的x₂，x₃，當時，有

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一、選擇題：（1）－（12）ＣＡＡＤＢ　　ＢＡＡＣＤ　　ＣＡ

二、填空題：（13）  （14）  （15）  （16）

三、解答題：

（17）解：（1）                                   …………6分

（2）                 …………8分

 時，

當時，

當時，……11分

綜上所述：………………12分

（18）解：（1）每家煤礦必須整改的概率1-0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的，所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是

                   ………………4分

（2）由題設，必須整改的煤礦數服從二項分布，從而的數學期望是

，即平均有2.50家煤礦必須整改.       ………………8分

（3）某煤礦被關閉，即煤礦第一次安檢不合格，整改后復查仍不合格，所以該煤礦被關閉的概率是，從而該煤礦不被關閉的概率是0.9，由題意，每家煤礦是否關閉是相互獨立的，所以5家煤礦都不被關閉的概率是

從而至少關閉一家煤礦的概率是          ………………12分

（19）證明：由多面體的三視圖知，四棱錐的底面是邊長為的正方形，側面是等腰三角形，，

且平面平面.……2分

（1）      連結，則是的中點，

在△中，，………4分

   且平面，平面，

 ∴∥平面  ………6分

(2) 因為平面⊥平面，

平面∩平面，

 又⊥，所以，⊥平面，

∴⊥ …………8分

又，,所以△是

等腰直角三角形，

且，即………………10分

 又， ∴ 平面，

又平面，

所以  平面⊥平面  ………………12分

（20）解：設

由

即

，

              ………………6分

（2）由題意得上恒成立。

即在[－1，1]上恒成立。

設其圖象的對稱軸為直線，所以上遞減，

故只需，，即………………12分

（21）解：（I）由

    所以，數列                        …………6分

   （II）由得：

     …………（1）                            

     …………（2）                   …………10分

   （2）－（1）得：

                                             …………12分

（22）解：（Ⅰ）∵  

∵直線相切，

∴   ∴    …………3分

∵橢圓C₁的方程是     ………………6分

（Ⅱ）∵MP=MF₂，

∴動點M到定直線的距離等于它到定點F₁（1，0）的距離，

∴動點M的軌跡是C為l₁準線，F₂為焦點的拋物線  ………………6分

∴點M的軌跡C₂的方程為    …………9分

（Ⅲ）Q（0，0），設 

∴ 

∵

∴

∵，化簡得

∴    ………………11分

∴

當且僅當 時等號成立   …………13分

∵

∴當的取值范圍是

……14分