題目列表(包括答案和解析)
(14分)設函數
（Ⅰ）若
互不相等，且
，求證成等差數列;
（Ⅱ）若
，過兩點
的中點作與x軸垂直的直線，此直線與
的圖象交于點P，
求證：函數在點P處的切線過點（c,0）;
（Ⅲ）若c=0, 
,
時，
恒成立，求
的取值范圍.
（本題滿分16分）
已知函數
，
.（其中
為自然對數的底數）.
（1）設曲線
在
處的切線與直線
垂直，求
的值；（2）若對于任意實數
≥0，
恒成立，試確定實數的取值范圍；（3）當
時，是否存在實數
，使曲線C：
在點
處的切線與
軸垂直？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
已知A、B、C是直線
上三點，向量
滿足：
+
（1）求函數
的表達式；
（2）若x>0，證明
；
（3）若不等式
時
，及
都恒成立，求實數m的取值范圍。
一．選擇題
序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
D
C
A
C
C
B
D
A
二填空題
13.
； 14．－6 ； 15．
； 16.
.
三．解答題
17．解：（Ⅰ）
………………………………………………………………4分
…………………………6分
（Ⅱ）
…………………………………………………8分
∴
…………………………………………………………………………10分
………………………………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝
，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4．
∴
＝
．……………………………………………………………… 2分
則V＝
． ……………………………………………………………… 4分
（Ⅱ）∵PA＝CA，F為PC的中點，∴AF⊥PC． …………………………5分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E為PD中點，F為PC中點，∴EF∥CD．則EF⊥PC． …………………………7分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…………………………………………………………8分
（Ⅲ）以A為坐標原點，AD,AP所在直線分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則平面PAD的法向量為：
=（1，0，0）
由（Ⅱ）知AF⊥PC,AF⊥CD ∴AF⊥平面PCD
∴
為平面PCD的法向量.
∵P(0,0,2),C
∴=
,即二面角C-PD-A的余弦值為
…………12分
19．解：設第一個匣子里的三把鑰匙為A，B，C，第二個匣子里的三把鑰匙為a,b,c(設A,a能打開所有門，B只能打開第一道門，b只能打開第二道門，C,c不能打開任何一道門)
（Ⅰ）
…………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）
(第一次只能拿B,第二次只能拿c) ……………………………6分
(第一次只能拿B,第二次只能拿b) ……………………………8分
(第一次拿A,第二次隨便拿，或第一次拿B，第二次拿a)
…10分
…………………………12分
20.（Ⅰ）依題
即
（
…………………………………………………3分
故
為等差數列，a1=1，d=2
………………………………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）設公比為q，則由b1b2b3=8，bn>0
…………………………………………………6分
又
成等差數列
………………………………………………………………………………………8分
或
…………………………………………………………………………………10分
或
……………………………………………………………………12分
21解：（Ⅰ）依題PN為AM的中垂線
…………………………………………………………2分
又C（-1，0），A（1，0）
所以N的軌跡E為橢圓，C、A為其焦點…………………………………………………………4分
a=，c=1，所以
為所求………………………………………………………5分
（Ⅱ）設直線
的方程為：y=k（x-1）代入橢圓方程：x2+2y2=2得
（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0………………（1）
設G（x1，y1）、H（x2，y2），則x1，x2是（1）的兩個根.
…………………………………………………………7分
依題
………………………………………………………9分
解得：
………………………………………………………………………12分
22.解：（Ⅰ）
若
，則
即
∴
成等差數列……………………3分
（Ⅱ）依題意
∴切線
令
得
，即
∴切線過點
.……………………………………………………………………………8分
（Ⅲ）
，則
∴
①
時：
時，
，此時為增函數；
時，
，此時為減函數；
時，，此時為增函數.
而
，依題意有
………………10分
②
時：
在
時，
∴
即
……（☆）
記
，則
∴
為R上的增函數，而
，∴時，
恒成立，（☆）無解.
綜上，
為所求.…………………………………………………………………………14分
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