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（本小題13分）已知二次函數（其中）

（1）試討論函數的奇偶性.

（2）當為偶函數時，若函數，試證明：函數在上單調遞減，在上單調遞增；

（本小題共13分）

已知函數．

（Ⅰ）當時，求的單調遞增區間；

（Ⅱ）若在區間上是減函數，求實數的取值范圍．

（本小題共13分）

已知函數．

（Ⅰ）當時，求的單調遞增區間；

（Ⅱ）若在區間上是減函數，求實數的取值范圍．

（本小題滿分13分）

對于定義域為D的函數，若同時滿足下列條件：

①在D內單調遞增或單調遞減；②存在區間[]，使在[]上的值域為[]；那么把（）叫閉函數

（1）求閉函數符合條件②的區間[]；

（2）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；

（3）若是閉函數，求實數的取值范圍.

已知函數．（）

（1）若在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）若在區間上，函數的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍．

【解析】第一問中，首先利用在區間上單調遞增，則在區間上恒成立，然后分離參數法得到，進而得到范圍；第二問中，在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立．然后求解得到。

解：（1）在區間上單調遞增，

則在區間上恒成立．  …………3分

即，而當時，，故． …………5分

所以．                 …………6分

（2）令，定義域為．

在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立．   

∵        …………9分

① 若，令，得極值點，，

當，即時，在（，+∞)上有，此時在區間上是增函數，并且在該區間上有，不合題意；

當，即時，同理可知，在區間上遞增，

有，也不合題意；                     …………11分

② 若，則有，此時在區間上恒有，從而在區間上是減函數；

要使在此區間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是．        …………13分

綜合①②可知，當時，函數的圖象恒在直線下方．