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探究問題

(1)閱讀理解：

①如圖1，在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA＋PB＋PC的值為△ABC的費馬距離．

②如圖2，若四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓上，則有AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．此為托勒密定理．

(2)知識遷移：

①請你利用托勒密定理，解決如下問題：

如圖3，已知點P為等邊△ABC外接圓的弧BC_{上任意一點．求證：PB＋PC＝PA．}

②根據(2)①的結論，我們有如下探尋△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)的費馬點和費馬距離的方法：

第一步：如圖4，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；

第二步：在弧BC上取一點P₀，連接P₀A、P₀B、P₀C、P₀D．

易知P₀A＋P₀B＋P₀C＝P₀A＋(P₀B＋P₀C)＝P₀A＋　　　 ；

第三步：請你根據(1)①中定義，在圖4中找出△ABC的費馬點P，線段　 　的長度即為△ABC的費馬距離．

(3)知識應用：

2010年4月，我國西南地區出現了罕見的持續干旱現象，許多村莊出現了人、畜飲水困難．為解決老百姓飲水問題，解放軍某部到云南某地打井取水．

已知三村莊A、B、C構成了如圖5所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)，現選取一點P打水井，使水井P到三村莊A、B、C所鋪設的輸水管總長度最小．求輸水管總長度的最小值．

（2010四川樂山）如圖(13.1)，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C(0，2)，連接AC，若tan∠OAC＝2．

(1)求拋物線對應的二次函數的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸l上是否存在點P，使∠APC＝90°，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖(13.2)所示，連接BC，M是線段BC上(不與B、C重合)的一個動點，過點M作直線l′∥l，交拋物線于點N，連接CN、BN，設點M的橫坐標為t．當t為何值時，△BCN的面積最大？最大面積為多少？