Question

探究問題

(1)閱讀理解：

①如圖1，在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA＋PB＋PC的值為△ABC的費馬距離．

②如圖2，若四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓上，則有AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．此為托勒密定理．

(2)知識遷移：

①請你利用托勒密定理，解決如下問題：

如圖3，已知點P為等邊△ABC外接圓的弧BC_{上任意一點．求證：PB＋PC＝PA．}

②根據(2)①的結論，我們有如下探尋△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)的費馬點和費馬距離的方法：

第一步：如圖4，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；

第二步：在弧BC上取一點P₀，連接P₀A、P₀B、P₀C、P₀D．

易知P₀A＋P₀B＋P₀C＝P₀A＋(P₀B＋P₀C)＝P₀A＋　　　 ；

第三步：請你根據(1)①中定義，在圖4中找出△ABC的費馬點P，線段　 　的長度即為△ABC的費馬距離．

(3)知識應用：

2010年4月，我國西南地區出現了罕見的持續干旱現象，許多村莊出現了人、畜飲水困難．為解決老百姓飲水問題，解放軍某部到云南某地打井取水．

已知三村莊A、B、C構成了如圖5所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)，現選取一點P打水井，使水井P到三村莊A、B、C所鋪設的輸水管總長度最小．求輸水管總長度的最小值．

Answer 1