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已知（m＞0，n＞0），當mn取得最小值時，直線y=-x+2與曲線的交點個數為    ．

已知△AOB的頂點A在射線l1：y=

3

x(x＞0)上，A，B兩點關于x軸對稱，O為坐標原點，且線段AB上有一點M滿足|AM|•|MB|=3．當點A在l₁上移動時，記點M的軌跡為W．
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）設N（2，0），過N的直線l與W相交于P、Q兩點．求證：不存在直線l，使得

OP

•

OQ

=1．

已知點(1，

1

3

)是函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點，等比數列a_n的前n項和為f（n）-c，數列b_n（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足：Sn-Sn-1=

Sn

 + 

Sn-1

(n≥ 2)．記數列{

1

bnbn+1

}前n項和為T_n，
（1）求數列a_n和b_n的通項公式；
（2）若對任意正整數n，當m∈[-1，1]時，不等式t2-2mt+

1

2

＞Tn恒成立，求實數t的取值范圍．

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線C′：

x2

a2

-

y2

b2

=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

已知二次函數g（x）的圖象經過坐標原點，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設函數f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m為非零常數
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）當-2＜m＜0時，判斷函數f（x）的單調性并且說明理由；
（3）證明：對任意的正整數n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．