Question

已知（m＞0，n＞0），當(dāng)mn取得最小值時(shí)，直線y=-x+2與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為    ．

Answer 1

【答案】分析：由基本不等式可求mn取得最小值時(shí)的m，n的值，然后討論：當(dāng)x＞0，y＞0；②當(dāng)x＞0，y＜0，③當(dāng)x＜0，y＞0；④當(dāng)x＜0，y＜0四種情況分別求出方程所表示的曲線，作出圖象能得到結(jié)果
解答：解：由基本不等式可得，1=
∴mn≥4
當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立，
也就是所以m=2，n=2．
∵曲線
∴①當(dāng)x＞0，y＞0，x²+y²=2表示 圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓
②當(dāng)x＞0，y＜0，x²-y²=2 以x軸為實(shí)軸的雙曲線；
③當(dāng)x＜0，y＞0，y²-x²=2表示以y軸為實(shí)軸的雙曲線；
④當(dāng)x＜0，y＜0，x²+y²=-2此時(shí)無(wú)解．
所以如圖得到圖象，
結(jié)合圖象知直線y=與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意均值定理和分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，常因分類不清易出錯(cuò)，是高考的重點(diǎn)．