題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分) 已知橢圓
的離心率
，A，B
分別為橢圓的長軸和短軸的端點，
為AB的中點，O為坐標原點，且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(-1,0)的直線
交橢圓于P,Q兩點,求△POQ面積最大時直線的方程.
(本小題滿分12分)
已知焦點在
軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點
為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線
對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設直線
與雙曲線C的左支交于A，B兩點，另一直線
經過M（－2，0）及AB的中點，求直線在
軸上的截距b的取值范圍．
(本小題滿分12分)
已知函數f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．
(1)求y＝f(x)的定義域；
(2)在函數y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使得過這兩點的直線平行于x軸；
(3)當a，b滿足什么條件時，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
(本小題滿分12分) 已知橢圓
的離心率
，A，B
分別為橢圓的長軸和短軸的端點，
為AB的中點，O為坐標原點，且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(-1,0)的直線
交橢圓于P,Q兩點,求△POQ面積最大時直線的方程.
1.A 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.D 8.B 9.B 10.D 11.B 12.D
13.－3 14.7 15.①④ 16.3
17.解：(1)f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋＋1.
又A＞0，ω＞0,0＜φ＜，∴f(x)的最大值為A＋1，最小值為1.
由f(x)的最大值與最小值的差為2，∴A＝2.
由f(x)過點(0,2)，f(0)＝cos 2φ＋2＝2，∴φ＝，
則T＝4π＝，∴ω＝，f(x)＝cos(x＋)＋2＝2－sinx.6分
(2)∵B＝，∴b＝f(B)＝2－sin(?)＝.
設A，C所對的邊分別為a，c，由余弦定理得＝a2＋c2－2accos，＋ac＝a2＋c2≥2ac，ac≤，
當且僅當a＝c＝時等號成立，△ABC的面積S＝acsin≤.12分
18.解：(1)某應聘者能被聘用的概率為p0＝1－(1－)(1－)(1－p)＝＋p.4分
(2)在4位應聘者中恰好有2人被聘用的概率為CP?(1－P0)2，
由于p0(1－p0)≤()2，當p0＝1－p0，即p0＝時，p0(1－p0)取最大值，
此時＋p＝，解得p＝.7分
(3)4位應聘者中被聘用人數ξ的取值為0,1,2,3,4，
P(ξ＝0)＝C()4()0＝，P(ξ＝1)＝C()3()1＝，
P(ξ＝2)＝C()2()2＝，P(ξ＝3)＝C()1()3＝，
P(ξ＝4)＝C()0()4＝，
其分布列為
ξ
0
1
2
3
4
p
由于ξ服從二項分布，所以Eξ＝2.12分
19.解：(1)連AQ，∠PQA是PQ與平面ABCD所成角，AQ＝2，BQ＝2，即Q是BC的中點，過Q作QH⊥AD于H，則QH⊥平面PAD，過Q作QM⊥PD，連MH，則∠QMH為所求二面角的平面角.
在Rt△PAD中，＝⇒MH＝＝＝，
所以tan∠QMH＝＝＝，
從而所求二面角的大小為arctan .6分
(2)由于Q是BC的中點，可得DQ⊥PQ，
⇒面PAQ⊥面PDQ，
過A作AG⊥PQ于G，則AG為點A到平面PQD的距離.
AG＝＝＝.12分
另解：分別以AD，AB，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
由條件知Q是BC的中點，面PAD的一個法向量是＝(0,2,0).
又D(4,0,0)，Q(2,2,0)，P(0,0,4)，
故＝(0,2,0)，＝(－4,0,4)，
設面PDQ的法向量為n＝(x，y，z)，
則⇒由此可取n＝(1,1,1)，
從而(1)cos〈，n〉＝＝＝.
(2)面PDQ的一個法向量為n＝(1,1,1)，＝(2,2,0)，
故點A到平面PDQ的距離d＝＝＝.
20.解：(1)設f(x)＝(k為非零常數)，易得f(x)＝(1≤x≤2).3分
(2)f′(x)＝－，f′(t)＝－，點P(t，)，∴l：y－＝－(x－t)，即l：y＝－x＋.l在x軸和y軸上的截距分別是2t和.
①當＞3，即t＜時，2t＜＜3，此時f(t)＝＝(8t－3t2).
②當≤3，且2t≤3即≤t≤時，f(t)＝?2t?＝4.
③當2t＞3，即t＞時，此時＜3，f(t)＝＝(4t－3).
故f(t)＝8分
當1≤t＜時，f′(t)＝(4－3t)＞0，f(t)為增函數；當＜t≤2時，f′(t)＝＜0，f(t)為減函數，且f(t)在[1,2]上連續，所以f(t)max＝4.12分
21.解：(1)設∠MAB＝θ，M(x，y)，則∠MBA＝2θ，tan θ＝，tan 2θ＝，tan 2θ＝⇒x2－＝1(x＜－1).4分
(2)設CD：y＝－3x＋m，
⇒6x2－6mx＋m2＋3＝0.
由于此方程在(－∞，－1)內有兩個不同的根，易求得m＜－.
設C(x1，y1)，D(x2，y2)，并設點C在直線l的上方，則
y1＝－3x1＋m，y2＝－3x2＋m.
假設A，B，C，D四點共圓，由于∠CBA＝2∠CAB，∠DBA＝2∠DAB，
故∠CBD＝2∠CAD，由此∠CAD＝60°.
tan 60°＝＝.
⇒＝
⇒＝
⇒＝－⇒(x1－x2)2＝(m＋6)2
⇒m＝－＜－.
∴x1＋x2＝m＝－，y1＋y2＝－3(x1＋x2)＋2m＝，從而CD中點為(－，)，代入直線l的方程得＝－×＋b⇒b＝.
故存在b＝滿足題設條件.12分
22.解：(1)令n＝1得a1＝5.
由4Sn＝3an＋8n2－3
得4Sn－1＝3an－1＋8(n－1)2－3
兩式相減得an＝－3an－1＋16n－8.
設此式可寫成an－pn－q＝－3[an－1－p(n－1)－q]，可解得p＝4，q＝1，
于是an－4n－1＝(－3)n－1(a1－4×1－1)，而a1＝5，故有an＝4n＋1.6分
(注：也可以采取先猜，后用數學歸納法證的辦法得出通項)
(2)由bn＝(4n－1)(4n＋1)(4n＋3)有
＝＝(－)
＝(－)
＜(－).
＋＋…＋＜[(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝[－]＜＝.14分
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