Question

(本小題滿分12分)

已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線對(duì)稱．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設(shè)直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過M（－2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線在軸上的截距b的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，則kx-y=0

∵該直線與圓相切，∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．

故設(shè)雙曲線C的方程為．

又雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為，∴，．

∴雙曲線C的方程為:.

（2）由得．令

∵直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程f(x)=0在上有兩個(gè)不等實(shí)根．

因此，解得又AB中點(diǎn)為，∴直線l的方程為：． 令x=0，得．∵，∴，∴.

考點(diǎn)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線的性質(zhì)；直線與雙曲線的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)在某區(qū)間上的值域。

點(diǎn)評(píng)：研究直線與雙曲線的綜合問題，通常的思路是：轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與雙曲線方程所組成的方程組消去一個(gè)變量后，將交點(diǎn)問題（包括公共點(diǎn)個(gè)數(shù)、與交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的問題）轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問題。