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設(shè)．

　　

(1)求證：為定值；

(2)求面積的最值．

定義：如果數(shù)列{a_n}的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱{a_n}為“三角形”數(shù)列．對(duì)于“三角形”數(shù)列{a_n}，如果函數(shù)y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍為一個(gè)“三角形”數(shù)列，則稱y=f（x）是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”，（n∈N^﹡）．
（1）已知{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若f（x）=k^x，（k＞1）是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍；
（2）已知數(shù)列{c_n}的首項(xiàng)為2010，S_n是數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，且滿足4S_n+1-3S_n=8040，證明{c_n}是“三角形”數(shù)列；
（3）[文科]若g（x）=lgx是（2）中數(shù)列{c_n}的“保三角形函數(shù)”，問(wèn)數(shù)列{c_n}最多有多少項(xiàng)．
[理科]根據(jù)“保三角形函數(shù)”的定義，對(duì)函數(shù)h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和數(shù)列1，1+d，1+2d，（d＞0）提出一個(gè)正確的命題，并說(shuō)明理由．

定義y=log_1+xf（x，y），f（x，y）=（1+x）^y（x＞0，y＞0）
（1）比較f（1，3）與f（2，2）的大小；
（2）若e＜x＜y，證明：f（x-1，y）＞f（y-1，x）；
（3）設(shè)g（x）=f（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的圖象為曲線C，曲線C在x₀處的切線斜率為k，若x₀∈（1，1-a），且存在實(shí)數(shù)b，使得k=-4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

定義：對(duì)于任意n∈N^*，滿足條件

an+an+2

2

≤an+1且a_n≤M（M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)）的無(wú)窮數(shù)列a_n稱為T數(shù)列．
（1）若a_n=-n²+9n（n∈N^*），證明：數(shù)列a_n是T數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列b_n的通項(xiàng)為bn=50n-(

3

2

)n，且數(shù)列b_n是T數(shù)列，求常數(shù)M的取值范圍；
（3）設(shè)數(shù)列cn=|

p

n

-1|（n∈N^*，p＞1），問(wèn)數(shù)列b_n是否是T數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．

定義在D上的函數(shù)，如果滿足：存在常數(shù)M＞0，對(duì)任意x∈D都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)f(x)=2sin(x+

π

6

)+3在實(shí)數(shù)集R上，函數(shù)g(x)=x3+

3

x

在[

1

3

，3]上是不是有界函數(shù)？若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)出理由．
（2）若已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離S與時(shí)間t的關(guān)系為S(t)=

1

4

t4+3lnt-at，要使在t∈[

1

3

，3]上每一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的絕對(duì)值都不大于13，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．