Question

定義y=log_1+xf（x，y），f（x，y）=（1+x）^y（x＞0，y＞0）
（1）比較f（1，3）與f（2，2）的大小；
（2）若e＜x＜y，證明：f（x-1，y）＞f（y-1，x）；
（3）設g（x）=f（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的圖象為曲線C，曲線C在x₀處的切線斜率為k，若x₀∈（1，1-a），且存在實數b，使得k=-4，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）、由定義知f（x，y）=（1+x）^y（x＞0，y＞0），分別求出f（1，3）與f（2，2）的值后再進行比較．
（2）、要證f（x-1，y）＞f（y-1，x），只要證x^y＞y^x即可．
（3）、由題意知：g（x）=x³+ax₂+bx+1，且g'（x₀）=k，于是有3x₀²+2ax₀+b=-4在x₀∈（1，1-a）上有解．又由定義知log₂（x₀³+ax₀²+bx₀+1）＞0即x₀³+ax₀²+bx₀＞0．然后再分類討論，求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由定義知f（x，y）=（1+x）^y（x＞0，y＞0）
∴f（1，3）=（1+1）³=8，f（2，2）²=9∴f（1，3）＜f（2，2）．
（2）f（x-1，y）=x^y，f（y-1，x）=y^x
要證f（x-1，y）＞f（y-1，x），只要證x^y＞y^x
∵xy＞yx?ylnx＞xlny?

lnx

x

＞

lny

y

令h(x)=

lnx

x

，則h′(x)=

1-lnx

x2

，當x＞e時，h'（x）＜0
∴h（x）在（e，+∞）上單調遞減．
∵e＜x＜y∴h（x）＞h（y）即

lnx

x

＞

lny

y

∴不等式f（x-1，y）＞f（y-1，x）成立．
（3）由題意知：g（x）=x³+ax₂+bx+1，且g'（x₀）=k
于是有3x₀²+2ax₀+b=-4在x₀∈（1，1-a）上有解．
又由定義知log₂（x₀³+ax₀²+bx₀+1）＞0即x₀³+ax₀²+bx₀＞0
∵x₀＞1∴x₀²+ax₀＞-b
∴x₀²+ax₀＞3x₀²+2ax₀+4即ax₀＜-2（x₀²+2）
∴a＜-2(x0+

2

x0

)在x₀∈（1，1-a）有解．
設V(x0)=x0+

2

x0

，x0∈(1，1-a)
①當1-a＞

2

即a＜1-

2

時，V(x0)=x0+

2

x0

≥2

2

．
當且僅當x0=

2

時，V(x0)min=2

2

∴當x0=

2

時，-2(x0+

2

x0

)max=-4

2

∴a＜-4

2

．
②當1＜1-a≤

2

時，即1-

2

≤a＜0時，V(x0)=x0+

2

x0

在x₀∈（1，1-a）上遞減，
∴x0+

2

x0

＞1-a+

2

1-a

．∴a＜-2[(1-a)+

2

1-a

]整理得：a²-3a+6＜0，無解．
綜上所述，實數a的取值范圍為(-∞，-4

2

)．

點評：本題是對數函數的綜合題，在解題過程中除正確運用對數的圖象和性質，還要充分考慮函數的單調性和導數的幾何意義．