題目列表(包括答案和解析)
如圖，
⊥平面
，是矩形，
，
，點
是
的中點，點
在邊
上移動．
(1)求三棱錐
的體積；
(2)當點為的中點時，試判斷
與平面
的位置關系，并說明理由；
(3)證明：無論點在邊的何處，都有
.
如圖，
平面
，是矩形，
，點
是
的中點，點
是邊
上的動點.
（Ⅰ）求三棱錐
的體積；
（Ⅱ）當點為的中點時，試判斷
與平面
的位置關系，并說明理由；
（Ⅲ）證明：無論點在邊的何處，都有
.
一、選擇題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空題：
11. 
； 12. 
；
13. 
；
14. 
；
15. 
； 16. ③ ④ .
三、解答題：
17.解：（1）在
中，由
，得
， 又由正弦定理：
得：
.
……………………4分
（2）由余弦定理：
得：
，
即
，解得
或
（舍去），所以
.
……8分
所以，
即
.
…………………12分
18.解：（1）依題意，雙曲線的方程可設為：
、
，
則
解之得：
，
所以雙曲線的方程為：
.
……………………6分
（2）設
、
，直線
與
軸交于
點，此點即為雙曲線的右焦點，由
消去
，得
，
此方程的
且
，
，
所以、兩點分別在左、右支上，不妨設在左支、在右支上 ………9分
則由第二定義知：
，
， …………11分
所以
，即
. ………14分
（亦可求出、的坐標，用兩點間距離公式求.）
19.（1）當點
為
的中點時，
與平面
平行.
∵在
中，、
分別為、
的中點
∴∥
又
平面，而
平面
∴∥平面.
……………………4分
（2）證明（略證）：易證
平面
，又是
在平面內的射影，
，∴
.
……………………8分
(3)∵
與平面
所成的角是
，∴
，
，
.
過作
于
，連
，則
. …………………10分
易知：
，
，設
，則
，
，
在
中，
，
得
.
………14分
解法二:（向量法）（1）同解法一
（2）建立圖示空間直角坐標系，則
，
，
，
.
設，則
∴ （本小題4分）
（3）設平面
的法向量為
，由
，
得：
，
依題意
，∴
，
得.
（本小題6分）
20.解：（1）
，
∴可設
，
因而
①
由
得 
②
∵方程②有兩個相等的根，
∴
，即
解得 
或
由于
，（舍去），將 代入 ① 得
的解析式
.
…………………6分
（2）
=
，
∵
在區間
內單調遞減，
∴
在上的函數值非正，
由于，對稱軸
，故只需
，注意到，∴
，得
或
（舍去）
故所求a的取值范圍是
.
…………………11分
（3）時，方程
僅有一個實數根，即證方程
僅有一個實數根.令
，由
，得
，
，易知
在
，
上遞增，在
上遞減，的極大值
，的極小值
，故函數的圖像與軸僅有一個交點，∴時，方程僅有一個實數根，得證.
……………………16分
21.解：（1）
， ……………………1分
=
.
……………………4分
（2）
，
……………………5分
，………7分
∴數列
是
為首項，
為公比的等比數列. ……………………8分
（3）由（2）知
， Sn =
， ……………9分
=
∵0<
<1，∴>0，
，0<
<1，
，
∴
，
……………………11分
又當
時，
，∴
， ……………………13分
∴
<
.……14分
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