如圖.已知四邊形是菱形.點分別是邊.的中點．求證:．【查看更多】

如圖，已知四邊形是菱形，點分別是邊，的中點．求證：．

如圖，已知OABC是矩形，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OC=6cm，OA=8cm．點P從點A開始沿邊AO向點O以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點C開始沿CB向點B以1cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A，C同時出發．

（1）①若連接OQ、PB，試判斷四邊形OPBQ的形狀，并說明理由；
②若連接PQ、OB，經過幾秒？使得QP⊥OB；
（2）點K在x軸上，經過幾秒時？△PQK是等邊三角形，并求點K的坐標．
（3）點E為OC邊上的一動點，試說明PE+QE的最小值是一個定值，并求出這個值．

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如圖，已知OABC是矩形，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OC=6cm，OA=8cm．點P從點A開始沿邊AO向點O以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點C開始沿CB向點B以1cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A，C同時出發．

（1）①若連接OQ、PB，試判斷四邊形OPBQ的形狀，并說明理由；
②若連接PQ、OB，經過幾秒？使得QP⊥OB；
（2）點K在x軸上，經過幾秒時？△PQK是等邊三角形，并求點K的坐標．
（3）點E為OC邊上的一動點，試說明PE+QE的最小值是一個定值，并求出這個值．

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（1997•甘肅）如圖，已知AD、BE、CF分別是△ABC三邊的高，H是垂心，AD的延長線交△ABC的外接圓于點G．求證：DH=DG．

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如圖，已知AD、BE、CF分別是△ABC三邊的高，H是垂心，AD的延長線交△ABC的外接圓于點G．求證：DH=DG．

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一、填空題：

1．60°．

2．答案不惟一，如：AE=CF，∠AEB=∠CFD,∠ ABE=∠CDF；

3．1；

4.4。

5.60

7．2－2

8.15。

9.5

10.4

11.5

12. 2,3,n。

14．

15. (-8,0)。

16.6。

17. .平行四邊形。

18.60

19．4，12

二、選擇題：

1．C

2．C

3.B

4.B

5.B

6.A

7.C。

8.B。

9.C

10.D

11.C。

12.B

13.B　

14.C　

15.D

16. C

17．C

18．D

19.D

20.C

21.D

22.D。

三、解答題：

1．（1）如圖答2，因為AD∥BC，AB∥DC ------------------------------------------------- 2分

所以四邊形ABCD為平行四邊形．---------------------------------------------------------------- 3分

分別過點B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分別為點E、F．

則BE = CF．-------------------------------------------------------------------------------------------- 4分

因為∠DAB =∠BAF，所以Rt△DAB≌Rt△BAF．--------------------------------------------- 5分

所以AD = AB．

所以四邊形ABCD為菱形．-------------------------------------------------------------------------- 6分

（2）存在最小值和最大值．-------------------------------------------------------------------------- 7分

① 當∠DAB = 90°時，菱形ABCD為正方形，周長最小值為8；---------------------------8分

② 當AC為矩形紙片的對角線時，設AB = x，如圖答3，在Rt△BCG中，

，．所以周長最大值為17．-------------------------------------------9分

2．證明： ∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO＝CO-------------------------------1′

證得：△AOE≌△COF-----------------------------------------------------------3′

證得：四邊形AECF是平行四邊形------------------------------------------------5′

　　　由AC⊥EF可知：四邊形AECF是菱形 -------------------------------------------6′

5．（本題滿分8分）

解：（1）方法一：如圖①

∵在□ ABCD中，AD∥BC

∴∠DAB＋∠ABC＝180° ………………………1分

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF ………………………2分

∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°

即∠BAE＋∠ABF＝90° ………………………3分

∴∠AMB＝90°

∴AE⊥BF． …………………………4分

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圖②

方法二：如圖②,延長BC、AE相交于點P

∵在□ABCD中，AD∥BC

∴∠DAP＝∠APB …………………………1分

∵AE平分∠DAB

∴∠DAP＝∠PAB …………………………2分

∴∠APB＝∠PAB

∴AB＝BP ………………………3分

∵BF平分∠ABP

∴:AP⊥BF

即AE⊥BF． ………………………4分

(2)方法一：線段DF與CE是相等關系，即DF＝CE ………………5分

∵在□ABCD中，CD∥AB

∴∠DEA＝∠EAB

又∵AE平分∠DAB

∴∠DAE＝∠EAB

∴∠DEA＝∠DAE

∴DE＝AD ………………………6分

同理可得，CF＝BC ………………………7分

又∵在□ABCD中，AD＝BC

∴DE＝CF

∴DE－EF＝CF－EF

即DF＝CE． ………………………8分

方法二：如右圖,延長BC、AE設交于點P，延長AD、BF相交于點O …5分

∵在□ABCD中，AD∥BC

∴∠DAP＝∠APB

∵AE平分∠DAB

∴∠DAP＝∠PAB

∴∠APB＝∠PAB

∴BP＝AB

同理可得，AO＝AB

∴AO＝BP ………………………6分

∵在□ABCD中，AD＝BC

∴OD＝PC

又∵在□ABCD中，DC∥AB

∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA ………………………7分

∴＝，＝

∴DF＝CE． ………………………8分

6.　（1）（2）略　　　（3）設BC=x，則DC＝x ,BD＝，CF＝（－1）x

GD²=GE?GB=4－2 DC²+CF²=(2GD)²　　即　x²+（－1）²x²＝4（4－2）

（4－2）x²＝4（4－2）　　x²＝4　　　正方形ABCD的面積是4個平方單位

7．（本小題滿分5分）

證明：∵ AB∥CD

∴ …………1分

∵

∴ △ABO≌△CDO …………3分

∴ …………4分

∴ 四邊形ABCD是平行四邊形 …………5分

11．證明：（1）①在和中，

，，，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

②，

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

，

12．（本題7分）

解：（1）在梯形中，，

，，

，

．

，

．

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

，，

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

與的函數表達式是

；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（2）

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

當時，有最大值，最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

13．證明：菱形中，．???????????????????? 1分

分別是的中點，

．?????????????????? 3分

又，．????????????????? 5分

．??????????????????????????????? 7分

14.

15．證明：四邊形是平行四邊形，，．

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

平分，．????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

又，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

16．解：（1）①40．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

②0． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（2）不合理．例如，對兩個相似而不全等的矩形來說，它們接近正方形的程度是相同的，但卻不相等．合理定義方法不唯一，如定義為．越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形與正方形的形狀差異越大；當時，矩形就變成了正方形．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

17．解：（1）正方形中，，．

又，因此，即菱形的邊長為．

在和中，，

，，

．．

，，

，即菱形是正方形．

同理可以證明．

因此，即點在邊上，同時可得，

從而．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

（2）作，為垂足，連結，

，，

，．

．

在和中，，，

．

，即無論菱形如何變化，點到直線的距離始終為定值2．

因此．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（3）若，由，得，此時，在中，．

相應地，在中，，即點已經不在邊上．

故不可能有．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

另法：由于點在邊上，因此菱形的邊長至少為，

當菱形的邊長為4時，點在邊上且滿足，此時，當點逐漸向右運動至點時，的長（即菱形的邊長）將逐漸變大，最大值為．

此時，，故．

而函數的值隨著的增大而減小，

因此，當時，取得最小值為．

又因為，所以，的面積不可能等于1．????????????????????? 9分

18.

19．證明：在等腰中，，．

　　　　　，，．又，

　　　　　．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

　　　　　．．

　　　　　．．．?????????????????? 5分

　　　　　又不平行，四邊形是梯形．??????????????????????????????????? 7分

　　　　　四邊形是等腰梯形．（理由：同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形，或兩腰相等的梯形是等腰梯形）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

20．解：（1）在矩形中，，，

．……………………1分

　　　　，．

　　　　，即，

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如圖，已知AD、BE、CF分別是△ABC三邊的高，H是垂心，AD的延長線交△ABC的外接圓于點G．求證：DH=DG．