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（本小題12分）
如圖所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點.
（1）求的長；
（2）求cos< >的值；
]                  （3）求證：A₁B⊥C₁M.

（本小題12分）

如圖所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點.

（1）求的長；

（2）求cos< >的值；

]                   （3）求證：A₁B⊥C₁M.

（本小題12分）

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對角線MN過C點。已知AB=3米，AD=2米。設（單位：米），若（單位：米），則當AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積。

（本小題12分）如圖所示，三棱柱A₁B₁C₁—ABC的三視圖中，正(主)視圖和側(左)視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，點M是A₁B₁的中點．

(1)求證：B₁C∥平面AC₁M；

(2)求證：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B.

（本小題12分）

如圖所示，港口B在港口O正東方向120海里處，小島C在港口O北偏東60°方向、港口B北偏西30°方向上。一艘科學考察船從港口O出發，沿北偏東30°的OA方向以20海里/小時的速度駛離港口O，一艘快艇從港口B出發，以60海里/小時的速度駛向小島C，在C島裝運補給物資后給考察船送去，現兩船同時出發，補給物資的裝船時間要1小時，問快艇駛離港口B后最少要經過多少小時才能和考察船相遇？