Question

（本小題12分）如圖所示，三棱柱A₁B₁C₁—ABC的三視圖中，正(主)視圖和側(左)視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，點M是A₁B₁的中點．

(1)求證：B₁C∥平面AC₁M；

(2)求證：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B.

 

Answer 1

【答案】

(1) 由三視圖可知三棱柱A₁B₁C₁—ABC為直三棱柱，底面是等腰直角三角形，從而可知MO∥B₁C，利用線面的平行的判定定理，得到結論。

(2)根據題意，由于MO∥B₁C，同時能結合性質可知平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，從而利用面面垂直的性質定理得到。

【解析】

試題分析：(1)由三視圖可知三棱柱A₁B₁C₁—ABC為直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.

連結A₁C，設A₁C∩AC₁＝O，連結MO，

由題意可知，A₁O＝CO，A₁M＝B₁M，

∴MO∥B₁C，

又MO?平面AC₁M，

B₁C?平面AC₁M，∴B₁C∥平面AC₁M.

(2)∵A₁C₁＝B₁C₁，M為A₁B₁的中點，

∴C₁M⊥A₁B₁，

又平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，

平面A₁B₁C₁∩平面AA₁B₁B＝A₁B₁，

∴C₁M⊥平面AA₁B₁B，

考點：空間中線面和面面的位置關系

點評：解決的關鍵是是熟練的運用性質定理和判定定理，來證明，屬于基礎題。