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（09年湖南師大附中月考文）(13分)

已知點在橢圓：上，、分別為橢圓的左、右焦點，滿足，．

(1)求橢圓的離心率；

(2)若橢圓的長軸長為6，過點且不與軸垂直的直線與橢圓相交于兩個不同點、，且（，且）。在軸上是否存在定點，使得．若存在，求出所有滿足這種條件的點的坐標；若不存在，說明理由．

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1．D    2．C    3．A     4．B    5．D    6．C    7．C    8．A

9．    10． 25    11．    12．或者    13．21   14．3   15．

16．解：（1）

……………………………………………(3分)

∴值域為…………………………………………………………………(6分)

（不同變形參照給分）

（2）因為的周期為

∴………………………………………………………………(8分)

∴

∴在、上單調遞增，

在上單調遞減�！�………………………………………………(12分)

17．解：按一、二、三等獎的順序，獲獎人數有三種情況：

，，…………………………………………………………(1分)

當獲獎人數為時，發獎方式有：（種）…………………(3分)

當獲獎人數為時，發獎方式有：（種）…………………(5分)

當獲獎人數為時，發獎方式有：（種）…………………(7分)

(1)故恰有2人獲一等獎的概率為……………………(9分)

(2)故恰有3人獲三等獎的概率為……………………(11分)

答：(略)………………………………………………………………………(12分)

18．解：(1)證明：依題意知，又∵平面平面，∴平面

又平面，∴平面平面．……………………………(4分)

（2）解：∵，………………………………………(6分)

設P、M到底面的距離分別為、，則

∴，∴為中點�！�…………………………………………………(8分)

（3）∵，平面，平面，∴平面

        …………………………………………………(10分)

若平面，∵，∴平面平面

這與平面與平面有公共點矛盾

∴與平面不平行……………………………………………………(12分)

(本題也可以用向量法解答)

19．解：（1）由，得，

兩式相減，得，……………………………………………(3分)

所以數列，，，…，，…是以為首項，3為公差的等差數列，

即數列為等差數列；  ……………………………………………(5分)

又因為，，

∴

∴數列，，，…，，…是以為首項，3為公差的等差數列，

即數列為等差數列．  ……………………………………………………(7分)

（2）

……………………………………………………(10分)

∴，∴，，

∵數列是等差數列，∴，

∴，

解得：，（舍去）．……………………………………………(13分)

20．解（1）令，．

由題意得：

又，所以，

所以…………………………………(4分)

（2）∵，∴，于是，

∴，

∴橢圓E的方程為…………………………………………………(5分)

從而，

設點M、N、G的坐標依次為、、，

∵，∴，

∴………………………………………………………………(7分)．

又，

且，

∴

即得．  ………………………………………………(9分)

又，

故得．……………………………………………(*)(10分)

因不垂直于軸，設直線的方程為，與橢圓：聯立得：

∵點在橢圓內部，

∴直線必與橢圓有兩個不同交點．

方程有兩個不等實數根，

則由根與系數的關系，得

，，

代入（*）得

整理，得，即

∴存在這樣的定點滿足題設．…………………………………………(13分)

21．解：（1）∵，

∴，即。又，

∴即為，

∴

∵，∴．

解得，

又∵方程，（）有兩根，∴

而恒成立，

∴的取值范圍是．………………………………………………(6分)

（2）∵、是方程的兩根即的兩根為、

∴，

∴

∵，∴當且僅當，即時，取最小值．

即時，最�。�  ………………………………………………(10分)

此時，，

令，得，，

∵，∴、、的變化情況如下表

ㄊ

極大 值

ㄋ

極小值

ㄊ

∴由表知：的極大值為，極小值為，由題知。

解得，此時