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在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，是動(dòng)圓上一點(diǎn).

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)曲線上的三點(diǎn)與點(diǎn)的距離成等差數(shù)列，若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，求直線的斜率；

（3）若直線與和動(dòng)圓均只有一個(gè)公共點(diǎn)，求、兩點(diǎn)的距離的最大值.

已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點(diǎn)的軌跡為曲線，過定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點(diǎn)。

（I）求曲線的方程；

（II）試證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

【解析】第一問中設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為

第二問中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　

∵，∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．

然后設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，  

要使被軸平分，只要得到。

（1）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為．  ………………2分       

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　，……5分            

∵，∴，

∴直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）

………………6分

設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，   

要使被軸平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

當(dāng)時(shí)，（＊）對(duì)任意的s都成立，從而總能被軸平分．

所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分