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在直角坐標系中,動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是,設動點的軌跡為是動圓上一點.

(1)求動點的軌跡的方程;

(2)設曲線上的三點與點的距離成等差數列,若線段的垂直平分線與軸的交點為,求直線的斜率

(3)若直線和動圓均只有一個公共點,求兩點的距離的最大值.

 

【答案】

(1);(2);(3).

【解析】本試題主要考查了軌跡方程的求解和橢圓的定義,以及直線與橢圓的位置關系的綜合運用。

解:(1)由已知,得,…………………………1分.

將兩邊平方,并化簡得,      …………………………3分.

故軌跡C1的方程是。               ………………4分.

(2)由已知可得,,,

因為2|BF|=|AF|=|CF|,所以

即得,   ①                           …………………………5分.

故線段AC的中點為,其垂直平分線方程為, ②

    …………………………6分.

因為A,C在橢圓上,故有,兩式相減,

得:    ③

將①代入③,化簡得,    ④ ………………………7分.

將④代入②,并令y=0得,x=1/2,即T的坐標為(1/2,0)。………………………8分.

所以.                             ………………………9分.

,直線的方程為

因為P既在橢圓C1上又在直線上,從而有

將(1)代入(2)得         ………10分.

由于直線PQ與橢圓C1相切,故

從而可得             (3)

同理,由Q既在圓上又在直線上,可得

                  (4)……………………12分

由(3)、(4)得

所以 ……………………13分.

,當且僅當時取等號,

故P,Q、兩點的距離的最大值. …………………………14分.

 

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

在直角坐標系中,動點M到點P(
2
2
)
的距離等于點M到直線x+y-
2
=0
的距離的
2
倍,記動點M的軌跡為W,過點A(a,0)(a>0)作一條斜率為k(k<0)的直線交曲線W于B,C兩點,且交y軸于點D.
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