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如圖，四棱錐中，是的中點,，，且，，又面．

（1） 證明:;

（2） 證明:面;

（3） 求四棱錐的體積．

 

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如圖，四棱錐中，是的中點,，，且，，又面.

(1) 證明:;
(2) 證明:面;
(3) 求四棱錐的體積.

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1．B       2．A      3．C       4．B       5．A      6．B       7．D      8．C       9．C       1 0．B

11．B     12．D

【解析】

1．．

2．．

3．是方程的根，或8，又，

       ．

4．．

5．畫出可行域，如圖，可看為區域內的點與（0，0）連線的斜率，．

       ．

6．       

7．連，設      平面．

       是與平面所成的角．        ，

       ．

8．據的圖象知          的解集為．

9．由知點的軌跡是以，為焦點的雙曲線一支．，．

10．將命中連在一起的3槍看作一個整體和另外一槍命中的插入沒有命中的4槍留下的5個空檔，故有種．

11．設，圓為最長弦為直徑，最短弦的中點為，

12．幾何體的表面積是三個圓心角為、半徑為1的扇形面積與半徑為1的球面積的之和，即表面積為．

二、

13．    平方得

       ．

14．55        

       ．

15．1     與互為反函數，

       ，

       ．

16．或              ，設

或．

三、解答題

17．（1）的最大值為2，的圖象經過點

，，，

．

（2），

．

18．（1）∵當時，總成等差數列，

              即，所以對時，此式也成立

              ，又，兩式相減，

              得，

              成等比數列，．

       （2）由（1）得

              ．

19．（1）由題意知，袋中黑球的個數為

              記“從袋中任意摸出2個球，得到的都是黑球”為事件，則．

       （2）記“從袋中任意摸出2個球，至少得到一個白球”為事件，設袋中白球的個數為，則．或（含）．．∴袋中白球的個數為5．

20．（1）證明：．

連接．

，又

              即        平面．

（2）方法1   取的中點，的中點，為的中點，或其補角是與所成的角，連接是斜邊上的中線，，

       ．

              在中，由余弦定理得，

           ∴直線與所成的角為．

（方法2）如圖建立空間直角坐標系．

       則
             

       ．

       ．

    ∴直線與所成的角為．

（3）（方法l）

       平面，過作于，由三垂線定理得．

              是二面角的平面角，

              ，又．

在中，，．

∴二面角為．

（方法2）

在上面的坐標系中，平面的法向量．

設平面的法向量，則，

解得

，．

∴二面角為．

21．（1）

的最小值為，，又直線的斜率為．

，故．

       （2），當變化時，、的變化情況如下表：

0

0

ㄊ

極大

ㄋ

極小

ㄊ

           ∴函數的單調遞增區間是和

              ，

           ∴當時，取得最小值，

              當時，取得最大值18．

21．（1）設．

由拋物線定義，， ．

在上，，又

         或舍去．

∴橢圓的方程為．

       （2）① 直線的方程為

              為菱形，，設直線的方程為

              由，得

、在橢圓上，解得，設，則，的中點坐標為．

由為菱形可知，點在直線上，

．

∴直線的方程為即．

② ∵為菱形，且，

，∴菱形的面積

．

∴當時，菱形的面積取得最大值