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已知正方體--中，M為AB中點，棱長為2，P是底面ABCD上的動點，且滿足條件，則動點P在底面ABCD上形成的軌跡是                      （  ）

A．圓

B．橢圓

C．雙曲線

D．拋物線

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已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，O為AC與BD的交點，M為DD₁的中點．
（1）求證：直線B₁O⊥平面MAC；
（2）求二面角B₁-MA-C的大小．

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一、選擇題（每小題5分，滿分60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

B

C

D

A

C

A

B

A

C

A

D

二、填空題（每小題4分，滿分16分）

13．        14．         15．100          16．③④

三、解答題（第17、18、19、20、21題各12分，第22題14分，共74分）

17．（I）

   （Ⅱ）

            函數的值域為

18．解：（I）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件

、、，則，且有即

（Ⅱ）的可能取值：0，1，2，3

0

1

2

3

19．（I）設是的中點，連結，

則四邊形為方形，，故，

即

又

平面

   （Ⅱ）由（I）知平面，

又平面，，

取的中點，連結又，

則，取的中點，連結則

為二面角的平面角

連結，在中，，

取的中點，連結，，在中，

二面角的余弦值為

法二：

（I）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則

又因為

所以，平面

   （Ⅱ）設為平面的一個法向量。

由得

取，則又，

設為平面的一個法向量，由，，

得取取

設與的夾角為，二面角為，顯然為銳角，

，即為所求

20．解：（I）定義域為

        時，時，

        故的單調遞增區間是，單調遞減區間是

（Ⅱ） 即： 令 

      所以

      在單調遞減，在上單調遞增

      在上有兩個相異實根

21．解：（I）由題意知：

              橢圓的方程為

（Ⅱ）設

      切線的方程為：

      又由于點在上，則

             同理：

      則直線的方程：    則直線過定點（1，0）

（Ⅲ）就是A到直線PQ的距離d的

        取得等號

     的最小值是

22．解：（I）

（Ⅱ）原式兩邊取倒樹，則

     上式兩邊取對數，則

解得

（Ⅲ）

由題中不等式解得，對于任意正整數均成立

注意到，構造函數

則設函數

由對成立，得為上的減函數，

所以即對成立，因此為上的減函數，

即，故