Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，O為AC與BD的交點，M為DD₁的中點．
（1）求證：直線B₁O⊥平面MAC；
（2）求二面角B₁-MA-C的大小．

Answer 1

分析：本題的兩問是遞進式的，第（1）問是為第（2）問作鋪墊的．第（2）問中構造二面角的平面角的方法是典型的三垂線法．
（1）證明直線與平面垂直，關鍵要找到兩條相交直線與之都垂直．有時候題目中沒有現成的直線與直線垂直，需要我們先通過直線與平面垂直去轉化一下，如欲證B₁O⊥AC，可以先證明AC⊥平面BB₁O
（2）二面角的度量關鍵在于找出它的平面角，構造平面角常用的方法就是三垂線法．

解答：1）證明：∵BB₁⊥平面ABCD，OB⊥AC，
∴B₁O⊥AC．
連接MO、MB₁，則MO=

3

，B₁O=

6

，MB₁=3．
∵MO²+B₁O²=MB₁²，∴∠MOB₁=90°．
∴B₁O⊥MO．
∵MO∩AC=O，∴B₁O⊥平面MAC．

（2）解：作ON⊥AM于點N，連接B₁N．
∵B₁O⊥平面MAC，∴AM⊥平面B₁ON．
∴B₁N⊥AM．
∴∠B₁NO就是二面角B₁-MA-C的平面角．
∵AM=

5

，CM=

5

，∴AM=CM．
又O為AC的中點，∴OM⊥AC．則ON=OAsin∠MAO=

2

•

3

5

=

6

5

．
在Rt△B₁ON中，tan∠B₁NO=

B1O

ON

=

5

，
∴∠B₁NO=arctan

5

，即所求二面角的大小為arctan

5

．

點評：證明直線與直線垂直常用的方法有勾股定理、通過直線與平面垂直轉化，三垂線定理，其中在立體幾何證明垂直的問題中，三垂線定理應用很多，本題的兩問都是三垂線定理的應用實例．