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20090505

7． 提示: 當x>0時,的圖像相同,故可排除（A）、（C）、（D）.故選B

8．令=5，得3n=5r＋10 , 當r=1時，n=5.故選C

9． 提示由,得,所以,  點P的軌跡是圓（除去與直線AB的交點）.故選B

10．如圖, 由橢圓及第一定義可得,△ABF的周長為AB+

AF+BF=AB+2a-AF₁+BF=4+（AB-AF₁）+BF≤4+BF₁+

BF=4+4=8.當且僅當三點A、F₁、B共線時,不等式取  

等號,故選B.

11．提示: 易知數列｛a_n｝是以3為周期的數列，a₁=2,  a₂=   ,   a₃= ,  a₄ =2, 

故 a₂₀₀₉=2故選B

12．提示: ∵f ′（x）=g′（x）, ∴f（x）,g（x）可以是同一函數,或者僅是常數項不同的兩個函數, 而得

f（x）-g（x）是常數函數, 即B為最佳答案,故選B.

二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13．9；提示:  T_r+1=（x）^n-r（-）^r,由題意知：-+=27n=9

∴展開式共有10項，二項式系數最大的項為第五項或第六項，故項的系數最大的項為第五項。

14． ;矩形；若  則以 為鄰邊的平行四邊形對角線相等,所以此四邊形必為矩形,可見的夾角為

15． ；提示: P=1-=

16．提示：當直角三角形的斜邊垂直與平面時,所求面積最大。

三、解答題：（本大題共6小題，共70分）

17．（本大題10分）（1）不是，假設是在上的生成函數，則存在正實數使得恒成立，令，得，與矛盾，

所以函數一定不是在上的生成函數…………5分

   （2）設，因為

所以，當且僅當且時等號成立，

即時

    而，

，

      ………………………10分

18．（Ⅰ）連接A₁C.

∵A₁B₁C₁－ABC為直三棱柱，

∴CC₁⊥底面ABC，

∴CC₁⊥BC.

       ∵AC⊥CB，

       ∴BC⊥平面A₁C₁CA. ……………1分

       ∴為與平面A₁C₁CA所成角，

.

∴與平面A₁C₁CA所成角為.…………4分

   （Ⅱ）分別延長AC，A₁D交于G. 過C作CM⊥A₁G 于M，連結BM，

       ∵BC⊥平面ACC­₁A₁，

∴CM為BM在平面A₁C₁CA內的射影，

       ∴BM⊥A₁G，

∴∠CMB為二面角B―A₁D―A的平面角，

       平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點，

       ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

，.

       即二面角B―A₁D―A的大小為.……………………8分

   （Ⅲ）取線段AC的中點F，則EF⊥平面A₁BD.

證明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱柱，

∴B₁C₁//BC，

∵由（Ⅰ）BC⊥平面A₁C₁CA，

∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，

∵EF在平面A₁C₁CA內的射影為C₁F，

當F為AC的中點時，

C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D.

同理可證EF⊥BD，

∴EF⊥平面A₁BD.……………………12分

19．解:（1）從這5名學生中選出2名學生的方法共有種所選2人的血型為O型或A型的的情況共有種故所求概率為 ?…………6分

   （2） 至少有2名學生符合獻血條件的對立事件是至多1人符合獻血條件

則所求概率為 …………12分

20．解：（Ⅰ） 設C（x, y）,

∵ , ,  

∴ ,

∴ 由定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為的橢圓除去與x軸的兩個交點.

∴ .

∴ .

∴ W:   .………………… 2分

   （Ⅱ） 設直線l的方程為，

代入橢圓方程，得.

整理，得.         ①………………………… 5分

因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于

，

解得或.

∴ 滿足條件的k的取值范圍為 ………… 7分

   （Ⅲ）設P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）,

則＝（x₁+x₂，y₁+y₂）,

由①得.                 ②

又                ③

因為，，

所以.……………………… 11分

所以與共線等價于.

將②③代入上式，

解得.

所以不存在常數k，使得向量與共線.…………………… 12分

21．（本大題12分）

   （1）n=1時，a₁=－4

∴

∴數列{a_n－4}為等比數列，公比為2，首項為a₁－4=－8 …………5分

∴   

∴  …………7分

（2）

   …………10分

相減得：

   ………………12分

22．解: 解：∵f′（x）＝4a₀x³＋3a₁x²＋2a₂x+a₃為偶函數。

∴a₀＝a₂＝0，

∴f（x）＝a₁x³＋a₃x

又當x＝－時，f（x）取得極大值…………2分

∴ 解得

∴f（x）＝x³－x，f′（x）＝2x²－1………………4分

⑵解：設所求兩點的橫坐標為x₁、x₂，

則（2x₁²－1）（2x₂²－1）＝－1

又∵x₁，x₂∈[－1，1]，

∴2x₁²－1∈[－1，1]，2x₂²－1∈[－1，1]

∴2x₁²－1，2x₂²－1中有一個為1，一個為－1，………………5分

    ∴x₁＝0，x₂＝±1，

    ∴所求的兩點為（0，0）與（1，－）或（0，0）與（－1，）�！�……8分

⑶證明：易知sinx∈[－1，1]，cosx∈[－1，1]。

當0<x<時，f′（x）<0；當<x<1時，f′（x）>0。

∴f（x）在[0，]為減函數，在[，1]上為增函數，

又f（0）＝0，f（）＝－ ，f（1）＝－，

而f（x）在[－1，1]上為奇函數，

∴f（x）在[－1，1]上最大值為，最小值為－，

∴f（sinx）∈[－，]，f（cosx）∈[－，]，………………10分

∴|f（sinx）－f（cosx）|≤|f（sinx）|＋|f（cosx）|≤………………………………12分