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已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P．證明：

OM

•

OP

為定值．
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

已知關于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）當k變化時，試求不等式的解集A；
（2）對于不等式的解集A，若滿足A∩Z=B（其中Z為整數集）．試探究集合B能否為有限集？若能，求出使得集合B中元素個數最少的k的所有取值，并用列舉法表示集合B；若不能，請說明理由．

已知非零向量

e1

，

e2

，

a

，

b

滿足

a

=2

e1

-

e2

，

b

=k

e1

+

e2

．
（1）若

e1

與

e2

不共線，

a

與

b

是共線，求實數k的值；
（2）是否存在實數k，使得

a

與

b

不共線，

e1

與

e2

是共線？若存在，求出k的值，否則說明理由．

已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=2ⁿ（n∈N^*），b_n=3a_n．
（1）試證數列{an-

1

3

×2n}是等比數列，并求數列{b_n}的通項公式．
（2）在數列{b_n}中，是否存在連續三項成等差數列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，說明理由．
（3）①試證在數列{b_n}中，一定存在滿足條件1＜r＜s的正整數r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差數列；并求出正整數r，s之間的關系．
②在數列{b_n}中，是否存在滿足條件1＜r＜s＜t的正整數r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差數列？若存在，確定正整數r，s，t之間的關系；若不存在，說明理由．