Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=2ⁿ（n∈N^*），b_n=3a_n．
（1）試證數列{an-

1

3

×2n}是等比數列，并求數列{b_n}的通項公式．
（2）在數列{b_n}中，是否存在連續三項成等差數列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，說明理由．
（3）①試證在數列{b_n}中，一定存在滿足條件1＜r＜s的正整數r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差數列；并求出正整數r，s之間的關系．
②在數列{b_n}中，是否存在滿足條件1＜r＜s＜t的正整數r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差數列？若存在，確定正整數r，s，t之間的關系；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據由a_n+a_n+1=2ⁿ，代入

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

化簡整理可知結果為常數，故可根據等比數列的定義判斷數列{an-

1

3

×2n}是等比數列，公比為-1，首項為a1-

2

3

，進而可得等比數列的通項公式．
（2）先假設在數列{b_n}中，存在連續三項b_k-1，b_k，b_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差數列，再根據等差中項的性質可得b_k-1+b_k+1=2b_k，再通過（1）求得的a_n，求得b_n代入整理得2^k-1=4（-1）^k-1，分k為奇數和偶數兩種情況分別討論，進而求得k．
（3）①要使b₁，b_r，b_s成等差數列，只需b₁+b_s=2b_r，代入bn的通項公式整理得2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3，分情況討論，若s=r+1，當s為不小于4的正偶數，且s=r+1時符合條件；若s≥r+2時根據r的范圍推斷等式不成立．綜合可得答案．
②假設存在滿足條件1＜r＜s＜t的正整數r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差數列．首先找到成等差數列的3項，根據b_t=b_2n+d和b_t=2^t-（-1）^t，進而整理得2^t-3×2^2n-1=（-1）^t-3．由于左端大于等于8；右邊小于等于-2，進而推斷等式不可能成立，最后綜和即可得出結論．

解答：解：（1）證明：由a_n+a_n+1=2ⁿ，得a_n+1=2ⁿ-a_n，
∴

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

2n-an- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

-(an- 1 3 ×2n)

an- 1 3 ×2n

=-1，
∴數列{an-

1

3

×2n}是首項為a1-

2

3

=

1

3

，公比為-1的等比數列．
∴an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，即an=

1

3

[2n-(-1)n]，
∴b_n=2ⁿ-（-1）ⁿ
（2）解：假設在數列{b_n}中，存在連續三項b_k-1，b_k，b_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差數列，
則b_k-1+b_k+1=2b_k，即[2^k-1-（-1）^k-1]+[2^k+1-（-1）^k+1]=2[2^k-（-1）^k]，
即2^k-1=4（-1）^k-1
①若k為偶數，則2^k-1＞0，4（-1）^k-1=-4＜0，所以，不存在偶數k，使得b_k-1，b_k，b_k+1成等差數列．
②若k為奇數，則k≥3，∴2^k-1≥4，而4（-1）^k-1=4，所以，當且僅當k=3時，b_k-1，b_k，b_k+1成等差數列．
綜上所述，在數列{b_n}中，有且僅有連續三項b₂，b₃，b₄成等差數列．
（3）①證明：要使b₁，b_r，b_s成等差數列，只需b₁+b_s=2b_r，即3+2^s-（-1）^s=2[2^r-（-1）^r]，
即2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3，①
（�。┤魋=r+1，在①式中，左端2^s-2^r+1=0，右端（-1）^s-2（-1）^r-3=（-1）^s+2（-1）^s-3=3（-1）^s-3，
要使①式成立，當且僅當s為偶數時成立．又s＞r＞1，且s，r為正整數，
所以，當s為不小于4的正偶數，且s=r+1時，b₁，b_r，b_s成等差數列．
（ⅱ）若s≥r+2時，在①式中，左端2^s-2^r+1≥2^r+2-2^r+1=2^r+1，
由（2）可知，r≥3，∴r+1≥4，
∴2^s-2^r+1≥16；右端（-1）^s-2（-1）^r-3≤0（當且僅當s為偶數、r為奇數時取“=”），
∴當s≥r+2時，b₁，b_r，b_s不成等差數列．
綜上所述，存在不小于4的正偶數s，且s=r+1，使得b₁，b_r，b_s成等差數列．
②假設存在滿足條件1＜r＜s＜t的正整數r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差數列．
首先找到成等差數列的3項：由第（3）小題第①問，可知，b₁，b_2n-1，b_2n（n∈N*，且n≥2）成等差數列，
其公差d=b_2n-b_2n-1=[2²ⁿ-（-1）²ⁿ]-[2^2n-1-（-1）^2n-1]=2^2n-1-2，
∴b_t=b_2n+d=2²ⁿ-（-1）²ⁿ+2^2n-1-2=3×2^2n-1-3．
又b_t=2^t-（-1）^t，
∴3×2^2n-1-3=2^t-（-1）^t，
即2^t-3×2^2n-1=（-1）^t-3．②
∵t＞2n＞2n-1，∴t≥2n+1，
∴②式的左端2^t-3×2^2n-1≥2²ⁿ⁺¹-3×2^2n-1=2^2n-1≥8，
而②式的右端（-1）^t-3≤-2，
∴②式不成立．
綜上所述，不存在滿足條件1＜r＜s＜t的正整數r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差數列．

點評：本題主要考查等比數列的判定和等差數列的應用．數比數列常與對數函數、不等式等問題一塊考查，故應綜合掌握．